Functies: Kwadratische functies
Kwadraatafsplitsen
Een vergelijking als #\left(x+2\right)^2=3# kunnen we eenvoudig oplossen door worteltrekken.
Los #x# op in #\left(x+3\right)^2={{9}\over{16}}#.
Dit kun je zien door
- aan beide kanten van het #=# teken wortel te trekken: #x+3=\pm {{3}\over{4}}#;
- dan de vergelijking verder op te lossen door aan beide kanten van het #=# teken #3# af te trekken: #x=-3\pm {{3}\over{4}}#.
Dat lukt niet voor een algemene kwadratische vergelijking als #x^2+8x-1=0#, omdat de onbekende #x# tweemaal voorkomt. Maar er is een methode om de eerste vorm uit de tweede te destilleren:
Kwadraatafsplitsen
Kwadraatafsplitsen is het herschrijven van een kwadratische uitdrukking in #x# tot een uitdrukking waarin #x# maar één keer voorkomt, en wel in het grondtal van een tweede macht. Om precies te zijn, als #a#, #b# en #c# reële getallen zijn, dan geldt \[ax^2+bx+c=a\cdot\left( \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{(2a)^2}\right)\tiny.\]
Deze herschrijving gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}ax^2+bx+c &=& a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c \\ &=&a\cdot\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c \\
&=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}\right) \\
&=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right) \\
&=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}\right) \\
&=&a\cdot \left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2}\right) \\
\end{array}
\]
Met deze methode kunnen we niet alleen kwadratische vergelijkingen oplossen, maar ook vaststellen wat de top van een parabool is:
Het extreme punt van een kwadratische functie
De kwadratische veelterm #ax^2+bx+c#, waarbij #a\ne0#, is te schrijven als \[a\cdot\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2-4ac}{4a}\tiny.\]
In het bijzonder is #\rv{- \frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}}# een extreem punt:
- Als #a\gt0#, dan is het extreme punt het dieptepunt van de dalparabool.
- Als #a\lt0#, dan is het extreme punt het hoogtepunt van de bergparabool.
Met andere woorden: de kwadratische functie #ax^2+bx+c# in #x# heeft een minimum of maximum (naar gelang #a\gt0# of #a\lt0#) voor #x =- \dfrac{b}{2a}#, dat #-\dfrac{b^2-4ac}{4a}# groot is.
In het extreme punt is de eerste term van het resultaat van kwadraatafsplitsing gelijk aan #0#. Dat is dan en slechts dan het geval als #x+\frac{b}{2a}=0#, dat wil zeggen: als #x=-\frac{b}{2a}#. Dit verklaart waarom het extreme punt #x#-coördinaat #x=-\frac{b}{2a}# heeft.
Als #a\gt0#, dan is # a\cdot\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2# altijd groter dan of gelijk aan #0# en hebben we met een minimum te maken.
Als #a\gt0#, dan is # a\cdot\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2# altijd kleiner dan of gelijk aan #0# en hebben we met een maximum te maken.
De bijbehorende waarde voor #y# is gelijk aan de tweede term van het resultaat van kwadraatafsplitsing: #y=-\frac{b^2-4ac}{4a}#.
#\begin{array}{rcl}
x^2+6 x-4&=&0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\
(x+3)^2-3^2-4&=&0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{van }x^2+6x\text{ kwadraat afgesplitst}}\\
(x+3)^2&=&3^2+4\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{alles buiten de haakjes naar de rechter kant gebracht}}\\
(x+3)^2&=&13\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{rechter lid vereenvoudigd}}\\
x+3=\sqrt{13} &\lor&x+3=-\sqrt{13}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{aan beide kanten wortel getrokken}}\\
x=\sqrt{13}-3&\lor& x=-\sqrt{13}-3\\
&&\phantom{xxx}\blue{3 \text{ aan beide kanten afgetrokken}}\\
\end{array}
#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
