Het begrip rationale functie

Functies: Rationale functies

Het begrip rationale functie

Het quotiënt van de functies $f$ en $g$ is de functie $\dfrac{f}{g}$ gedefinieerd door $\dfrac{f}{g}(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ . Zo'n functie is gedefinieerd voor alle reële getallen $x$ die in het domein van $f$ en het domein van $g$ liggen en waarvoor geldt $g(x)\ne0$ .

Rationale functie

Een rationale functie is een functie van de vorm $\dfrac{p}{q}$ , waarbij $p$ en $q$ veeltermfuncties zijn.

Zo'n functie is dus gedefinieerd voor alle reële getallen $x$ die geen oplossing van $q(x)=0$ zijn.

Als $q$ de constante functie $0$ is, dan is dit een serieuze beperking: de rationale functie is nergens gedefinieerd. Maar anders is het aantal punten waar de functie $\dfrac{p}{q}$ niet gedefinieerd is, ten hoogste de graad van $q(x)$ .

Veeltermfuncties zelf zijn speciale rationale functies die de vorm $\dfrac{p}{q}$ hebben, namelijk degene waarbij $q(x)$ een constante is (ongelijk aan $0$ ).

Rekenregels voor rationale functies

Laat $p$ , $q$ , $r$ en $s$ veeltermfuncties zijn. De volgende rekenregels gelden op domeinen waarop alle rationale functies die er in voorkomen gedefinieerd zijn.

$\displaystyle \dfrac{p}{q}+\dfrac{r}{s} = \dfrac{s\cdot p+q\cdot r}{q\cdot s}$
$\displaystyle \dfrac{p}{q}+\dfrac{r}{q} = \dfrac{ p+ r}{ q}$
$\displaystyle \dfrac{r\cdot p}{r\cdot q}= \dfrac{p}{q}$
$\displaystyle r\cdot \dfrac{p}{q}= \dfrac{r\cdot p}{q}$
$\displaystyle\dfrac{ \dfrac{p}{q}}{ \dfrac{r}{s}}= \dfrac{s\cdot p}{q\cdot r}$

Deze regels zijn de gebruikelijke regels voor rationale getallen, waarbij teller en noemer gehele getallen zijn. Ze gelden ook voor veeltermen, met dien verstande dat de verzamelingen van punten waar de functie gedefinieerd is, in het linker en rechter lid kunnen verschillen.

De grafieken van rationale functies kunnen veel verschillende vormen hebben. De verticale asymptoten worden bijvoorbeeld veroorzaakt door de nulpunten van de noemer.

Teken de grafiek van $f(x)=\dfrac{x}{x^2+16}$ .

De grafiek van $f(x)=\dfrac{x}{x^2+16}$ ziet er als volgt uit:

Omdat de noemer van $f(x)$ nergens gelijk aan nul is, heeft $f(x)$ geen verticale asymptoten.

Nieuw voorbeeld