Functies: Machtsfuncties
Machtsfuncties
Laat #a=\frac{p}{q}# een rationaal getal zijn dat niet geheel is, met #p# en #q# gehele getallen ongelijk aan #0# en #q\gt0#. Dan is #x^a# een functie van #x# met domein #\ivco{0}{\infty}# als #a\gt0# en #\ivoo{0}{\infty}# als #a\lt0#. Immers, #x^a = \sqrt[q]{x^p}# is het unieke getal #b\ge0# met de eigenschap dat #b^q =x^p#.
Ook als #a# niet rationaal is, kunnen we #x^a# definiëren op #\ivco{0}{\infty}# als #a\gt0# en #\ivoo{0}{\infty}# als #a\lt0#. Door middel van getallen van de vorm # \sqrt[q]{x^p}#, met #\frac{p}{q}# een rationaal getal dicht in de buurt van #a#, is het getal zo goed te benaderen als maar nodig is. Dit is technisch wat moeilijker dan het rationale geval.
Machtsfunctie
Laat #a# een reëel getal zijn. De functie #x^a# van #x# heet de machtsfunctie met exponent #a#.
Als #a=0#, dan is #x^a# de constante functie, zij het dat zij niet gedefinieerd is in #0#.
Het domein kan net zo gekozen worden als in het geval dat #a# rationaal is.
Als #a\gt0# dan zou het nog zinvol kunnen zijn om #0^a =0# te stellen, en zo het domein van de machtsfunctie tot #\ivco{0}{\infty}# uit te breiden. Maar om de regels voor machten hieronder niet in gevaar te brengen, houden we het domein op #\ivoo{0}{\infty}#.
Alle bekende regels voor gebroken machten gelden ook hier.
Rekenregels voor machten
Laat #a# en #b# reële getallen zijn en #x# en #y# positieve getallen. Dan gelden de volgende gelijkheden.
- #\left(x^a\right)^b = x^{a\cdot b}#
- #\left(x\cdot y\right)^a = x^a\cdot y ^a#
- #x^a\cdot x^b = x^{a+b}#
- #\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}#
- #x^0 = 1#
Deze regels leiden tot de volgende nuttige eigenschappen van machtsfuncties. We bekijken hieronder #x^a# als functie met domein #\ivoo{0}{\infty}#. Als #a# een geheel getal is dat ongelijk nul is, dan is de functie op #\mathbb{R}\setminus\{0\}# (alle getallen behalve #0#) gedefinieerd, maar dan gelden wetten als #x^3 = x^{\frac{6}{2}} =\sqrt[2]{x^{6}}# niet langer, want #(-1)^3=-1# en #\sqrt[2]{(-1)^{6}}=1#.
Laat #a# een reëel getal zijn dat ongelijk aan #0# is. De machtsfunctie #x^a# met domein #\ivoo{0}{\infty}#
- heeft bereik #\ivoo{0}{\infty}#,
- is stijgend als #a\gt 0# en dalend als #a\lt0#.
Uitsluiten van #x=0# is nodig, omdat bijvoorbeeld #x^{-1}# nu voorkomt en gelijk is aan #\frac{1}{x}#.
Uitsluiten van #a=0# is nodig omdat #x^0# de constante functie #1# is, dus dan slechts bereik #1# heeft.
Immers, #x^{-1}# is een functie die voor waarden van #x# dichtbij #0# steeds grotere waarden voor #y# aanneemt. Voor waarden van #x# groter dan #1# worden de waarden van #y# steeds kleiner.
Daarnaast geldt voor #x=2# dat #2^{-1}={{1}\over{2}}#. Dit klopt met de grafiek.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
