Laat $a=\frac{p}{q}$ een rationaal getal zijn dat niet geheel is, met $p$ en $q$ gehele getallen ongelijk aan $0$ en $q\gt0$. Dan is $x^a$ een functie van $x$ met domein $\ivco{0}{\infty}$ als $a\gt0$ en $\ivoo{0}{\infty}$ als $a\lt0$. Immers, $x^a = \sqrt[q]{x^p}$ is het unieke getal $b\ge0$ met de eigenschap dat $b^q =x^p$.

Ook als $a$ niet rationaal is, kunnen we $x^a$ definiëren op $\ivco{0}{\infty}$ als $a\gt0$ en $\ivoo{0}{\infty}$ als $a\lt0$. Door middel van getallen van de vorm $\sqrt[q]{x^p}$, met $\frac{p}{q}$ een rationaal getal dicht in de buurt van $a$, is het getal zo goed te benaderen als maar nodig is. Dit is technisch wat moeilijker dan het rationale geval.

Alle bekende regels voor gebroken machten gelden ook hier.

Deze regels leiden tot de volgende nuttige eigenschappen van machtsfuncties. We bekijken hieronder $x^a$ als functie met domein $\ivoo{0}{\infty}$. Als $a$ een geheel getal is dat ongelijk nul is, dan is de functie op $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ (alle getallen behalve $0$) gedefinieerd, maar dan gelden wetten als $x^3 = x^{\frac{6}{2}} =\sqrt[2]{x^{6}}$ niet langer, want $(-1)^3=-1$ en $\sqrt[2]{(-1)^{6}}=1$.

1. 1
2. 1

Welke functie hoort bij onderstaande grafiek?