Hieronder geven we formele bewijzen van de uitspraken voor het geval dat #a#, #b# en #c# reëel zijn. De gevallen waarin een of twee hiervan #\pm\infty# zijn, kunnen op nagenoeg dezelfde manier bewezen worden. Steeds wordt een willeurig klein positief getal #\epsilon# gekozen. Dan gebruiken we de gegeven limieten om geschikte afschattingen te maken (niet altijd #\epsilon# zelf) voor de te bewijzen limiet. Daarbij wijzen we dan een positief getal #\delta# aan zodat de afschattingen werken voor alle #x# met #|x-a|\lt\delta#.

In de afschattingen gebruiken we de ongelijkheden #|x+y|\leq|x|+|y|#, #|x|-|y|\leq|x-y|# en de gelijkheid #x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})#.

Regel 1: #\lim_{x\to a}\left(f(x)+g(x)\right)=b+c#.
Kies een willekeurige #\epsilon\gt0#. Volgens de definitie van #\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b# is er een positief getal #\delta_1# zodanig dat voor alle #x# met #0\lt|x-a|\lt\delta_1# geldt #|f(x)-b|\lt\dfrac{\epsilon}{2}#. Net zo volgt uit de definitie van #\lim_{x\to a} g(x)=c# dat er een positief getal #\delta_2# is zodanig dat voor alle #x# met #0\lt|x-a|\lt\delta_2# geldt #|g(x)-c|\lt\dfrac{\epsilon}{2}#. Laat nu #\delta=\min(\delta_1,\delta_2)#, het minimum van #\delta_1# en #\delta_2#, zijn. Dan is #\delta\gt0# en geldt voor alle #x# met #|x-a|\lt\delta#:

\[\begin{array}{rcl} \left|\left(f(x)+g(x)\right)-(b+c)\right| &=& |\left(f(x)-b\right)+\left(g(x)-c\right)|\\ &\le&|f(x)-b|+|g(x)-c| \\ &\lt& \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}= \epsilon{\tiny.}\end{array}\]Dus de limiet van #f+g# in #a# is gelijk aan #b+c#.

Regel 2: Het bewijs van#\lim_{x\to a}\left(f(x)-g(x)\right)=b-c# volgt op dezelde wijze als dat van Regel 1. Bedenk hierbij dat #|g(x)-c|=|c-g(x)|#.

Regel 3: #\lim_{x\to a}\left(f(x)\cdot g(x)\right)=b\cdot c#.
Kies een willekeurige #\epsilon\gt0#. Volgens de definitie van #\lim_{x\to a}f(x)=b# is er een positief getal #\delta_1# zodanig dat voor alle #x# met #0\lt|x-a|\lt\delta_1# geldt #|f(x)-b|\lt\min\left(\dfrac{\epsilon}{2|c|+1},\dfrac{|b|+1}{2}\right)#. Net zo volgt uit de definitie van #\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=c# dat er een positief getal #\delta_2# is zodanig dat voor alle #x# met #0\lt|x-a|\lt\delta_2# geldt #|g(x)-c|\lt\dfrac{\epsilon}{3|b|+1}#. Neem nu #\delta=\min(\delta_1,\delta_2)# en veronderstel dat #|x-a|\lt\delta#. Dan gelden bovenstaande afschattingen voor #|f(x)-b|# en #|g(x)-c|#. Omdat uit #|f(x)-b|\lt \dfrac{|b|+1}{2}# volgt #|f(x)|\lt\dfrac{3|b|+1}{2}#, vinden we \[\begin{array}{rcl}\left|\left(f(x)\cdot g(x)\right)-(b\cdot c)\right|& =& |f(x) \left(g(x)-c\right)+\left(f(x)-b\right)c|\\& \le& |f(x)|\cdot |g(x)-c|+|f(x)-b|\cdot |c|\\ &\lt& \dfrac{3|b|+1}{2}\dfrac{\epsilon}{3|b|+1}+\dfrac{\epsilon}{2|c|+1}|c|\\ &\le& \dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} =\epsilon \tiny.\end{array}\]Dus is de limiet van #f\cdot g# in #a# gelijk aan #bc#.

Regel 4: Laat #c\ne0#. We moeten laten zien dat #\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{b}{c}#.
We bewijzen eerst #\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{g(x)}=\frac{1}{c}#. Kies #\epsilon\gt0# willekeurig. We kiezen een positief getal #\delta# zodanig dat voor alle #x# met #|x-a|\lt\delta# geldt #|g(x)-c|\le\min(\frac{\epsilon |c|^2}{2},\dfrac{|c|}{2})#. Uit #|g(x)-c|\lt \dfrac{|c|}{2}# volgt #|g(x)|\gt\dfrac{|c|}{2}#, zodat, voor #|x-a|\lt \delta#:\[\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{c}\right| = \frac{|g(x)-c|}{|g(x)|\cdot|c|} \lt \frac{|c|^2\frac{\epsilon}{2}}{\frac{|c|}{2}|c|} = \epsilon \tiny.\]

We hebben hiermee #\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{g(x)}=\frac{1}{c}# bewezen. De algemene regel volgt uit de vorige met #\dfrac{1}{g(x)}# in plaats van #g(x)#.

Regel 5: Als #d\ne0# een rationaal getal is en #b\gt0#, dan #\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)^d=b^d#.

We hebben het getal #b^d# niet formeel gedefinieerd voor willekeurige #d#, alleen voor #d# een rationaal getal. Daarom geven we de regel en het bewijs ook alleen voor rationale getallen.

Als #d\lt0#, dan geldt #\lim_{x\to a}f(x)^d=\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)^{-d}}#. Als we vastgesteld hebben dat de regel geldt voor #d\gt0#, dan kunnen we dit dankzij regel 3 verder herleiden tot #\dfrac{1}{b^{-d}}=b^d#. We kunnen ons dus beperken tot een bewijs voor het geval #d\gt0#.

Omdat #d# een rationaal getal is, kunnen we schrijven #d=\dfrac{n}{m}# voor twee natuurlijke getallen #n# en #m# met #m\gt0#. Bekijk eerst het geval #m=1# en #n\geq1#. Omdat\[f(x)^n=\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdots f(x)}_{n\text{ termen}}\tiny,\]volgt dit geval uit herhaalde toepassing van regel 3.

We bekijken nu het speciale geval waarin #n=1#. Kies #\epsilon\gt0# willekeurig. We schrijven \[D=\left(\dfrac{b}{2}\right)^{\frac{m-1}{m}}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^{\frac{m-2}{m}}b^{\frac{1}{m}}+\cdots +\left(\dfrac{b}{2}\right)^{\frac{1}{m}}b^{\frac{m-2}{m}}+b^{\frac{m-1}{m}}\tiny.\]Dit is een positief getal. Gebruik makend van #\lim_{x\to a}f(x) = b#, weten we dat er een positief getal #\delta# is zo dat, voor alle #x# met #|x-a|\lt \delta#, geldt #|f(x)-b|\lt \min\left(\epsilon D, \dfrac{b}{2}\right)#. Voor deze #x# vinden we #|f(x)|\ge \dfrac{b}{2}# en dus\[f(x)^{\frac{m-1}{m}}+f(x)^{\frac{m-2}{m}}b^{\frac{1}{m}}+\cdots +f(x)^{\frac{1}{m}}b^{\frac{m-2}{m}}+b^{\frac{m-1}{m}}\ge D\tiny.\]Het linker lid is gelijk aan #\dfrac{f(x)-b}{f(x)^{\frac{1}{m}}-b^{\frac{1}{m}}}#. Hieruit volgt\[\left|f(x)^{\frac{1}{m}}-b^{\frac{1}{m}}\right| = \dfrac{|f(x)-b|}{f(x)^{\frac{m-1}{m}}+f(x)^{\frac{m-2}{m}}b^{\frac{1}{m}}+\cdots +f(x)^{\frac{1}{m}}b^{\frac{m-2}{m}}+b^{\frac{m-1}{m}}}\le\dfrac{\epsilon D}{D}=\epsilon\tiny.\]

Hiermee is bewezen dat #\lim_{x\to a}f(x)^d=b^d# voor #d=\dfrac{1}{m}#. Door het geval #d=n# op dit resultaat toe te passen krijgen we het algemene geval: #\lim_{x\to a}f(x)^d =\lim_{x\to a}\left(f(x)^{\frac{1}{m}}\right)^n = \left(\lim_{x\to a}f(x)^{\frac{1}{m}}\right)^n = \left(b^{\frac{1}{m}}\right)^n = b^\frac{n}{m} =b^d#.

Regel 6: Als #h# een functie is met #\lim_{x\to c}h(x) = a#, dan geldt #\displaystyle\lim_{x\to c}f(h(x)) = b#. Kies #\epsilon\gt0# willekeurig. Vanwege #\lim_{x\to a}f(x) = b# is er een #\delta_f\gt0# zodat, voor alle #y# met #|y-a|\le\delta_f#, geldt #|f(y)-b|\lt \epsilon#. Vanwege #\lim_{x\to c}h(x) = a# is er een #\delta\gt0# zodat, voor alle #x# met #|x-c|\le\delta#, geldt #|h(x)-a|\lt \delta_f#. Bijgevolg geldt, voor alle #x# met #|x-c|\le\delta#, dat #|h(x)-a|\lt\delta_f#, zodat #|f(h(x))-b|\lt\epsilon# (pas voorgaande toe met #y=h(x)#). Hiermee is bewezen dat #\lim_{x\to c}f(h(x)) = b#.