Rekenkundige bewerkingen voor functies

Functies: Inleiding tot functies

Rekenkundige bewerkingen voor functies

We bespreken vijf methoden om uit twee reële functies een nieuwe reële functie te maken.

Rekenkundige operaties op functies

Laat #f# en #g# reëelwaardige functies zijn met hetzelfde domein en laat #a# een reëel getal zijn. Dan definiëren we

de somfunctie #f+g# door het functievoorschrift #(f+g)(x) = f(x)+g(x)#;
de geschaalde functie #a\cdot f# door het functievoorschrift #(a\cdot f)(x) = a\cdot{f(x)}#;
de verschilfunctie #f-g# als de functie #f+(-1)\cdot g#;
de productfunctie #f\cdot g# door het functievoorschrift #(f\cdot g)(x) = f(x)\cdot g(x)#;
de quotiëntfunctie #\frac{f}{g}# door het functievoorschrift #\frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)}#.

Omdat ze alle vijf bepaald worden door rekenkundige bewerkingen van waarden van de betrokken functie, noemen we deze bewerkingen rekenkundig.

Als #a# een getal is en #f# een functie, dan heeft de functie #a\cdot f# de waarde #a\cdot f(x)# in #x#. Als we #a# als de constante functie zien (die de waarde #a# aan elke #x# toekent, dus #a(x) = a#), dan geldt #(a\cdot f) (x) = a \cdot f(x)#. Er is hier dus geen verwarring tussen de twee interpretaties van #a#.

Een bijzonder geval van de quotiëntfunctie is #\dfrac{1}{f}#, de functie die bepaald wordt door #\dfrac{1}{f} (x)= \dfrac{1}{f(x)} = f(x)^{-1}#. Het is gevaarlijk om hiervoor #f^{-1}# te schrijven, omdat deze notatie vaak gebruikt wordt voor de inverse functie van #f# die we later definiëren.

Drie soorten speciale functies

Laat #a# een reëel getal zijn. De functie #C_a# met voorschrift #C_a(x)=a# heet de constante functie #a#. Als #f# een functie is, dan is #C_a\cdot f = a \cdot f#. Immers, #(C_a\cdot f)(x)= C_a(x)\cdot f(x) = a \cdot f(x) = (a\cdot f)(x)# voor elke #x# uit het domein van #f#.
De absolute waarde is een reële functie met functievoorschrift \[| x | = \begin{cases} \phantom{-}x & \mbox{ als }\ x \ge 0\\ -x & \mbox{ als}\ x\lt 0\end{cases}\] Deze functie kan ook geschreven worden als #\sqrt{x^2}#.
Een functie #f# die een voorschrift van de vorm #f(x)=a\cdot x+b# heeft voor twee getallen #a# en #b# met #a\ne0#, heet een lineaire functie. Een speciaal geval doet zich voor als #a=1# en #b=0#: dan geldt #f(x) = x#; dit is de identiteit.

Vaak wordt gesproken over de constante functie #a# in plaats van over #C_a#. Maar pas op: #a(x+1)# staat voor #ax+a# en niet voor de waarde in #x+1# van de constante functie #C_a#: dat zou #a# zijn. Dus #C_a(x+1)# is niet hetzelfde als #a(x+1)#. Om verwarring te voorkomen, laten we graag het product symbool #\cdot# zien en schrijven we #a\cdot(x+1)# in plaats van #a(x+1)#.

Als we #a=0# zouden nemen in het voorschrift #a\cdot x+b# voor een lineaire functie, dan krijgen we de constante functie #b#. Vandaar dat verlangd wordt dat #a\ne0# in de definitie van een lineaire functie.

Laat #f# de functie zijn met voorschrift #f(x) = {{1}\over{x}}# en #g# de functie met voorschrift #g(x)={{x+1}\over{x-1}}#.

Bepaal het functievoorschrift van #{f + g}#.

#\left({f + g}\right)(x)\,=\, # #{{x^2+2\cdot x-1}\over{\left(x-1\right)\cdot x}}#

Immers, #\left({f + g}\right)(x)=f(x)+g(x)=\left({{1}\over{x}}\right)+\left({{x+1}\over{x-1}}\right)={{x^2+2\cdot x-1}\over{\left(x-1\right)\cdot x}}#.

Nieuw voorbeeld