Functies: Inleiding tot functies
Functies en grafieken
We werken veel met het #x,y#-vlak waarvan de elementen de paren #\rv{x,y}# zijn met #x# en #y# reële getallen. In dit vlak kunnen we functies visualiseren.
Grafiek
Een grafiek is een verzameling punten in het vlak.
Een functie #f# kunnen we zichtbaar maken door er een grafiek bij te tekenen: bij elke waarde van #x# uit het domein van #f# hoort één waarde voor #y#, namelijk #f(x)#. De verzameling van punten #\rv{x,y}# die zo verkregen wordt, is de grafiek van de functie #f#.
Met andere woorden, de grafiek van #f# bestaat dus uit alle punten #\rv{x,f(x)}# voor #x# uit het domein van #f#.
Het hangt af van het domein van #f#.
Een functie bepaalt een grafiek. Maar hoe zit het andersom: als je een verzameling #X# van punten in het reële vlak hebt, is er dan ook een functie waar #X# de grafiek van is? Het antwoord is niet altijd ja:
Grafieken die van een functie afkomstig zijn
Een functie wijst bij elke waarde van #x# uit het domein precies één waarde van #y# aan, en bij elke waarde van #x# buiten het domein, géén waarde van #y#. De graaf van een functie heeft dus de eigenschap dat elke verticale lijn de graaf in hooguit één punt snijdt.
Andersom geldt dit ook. Als #X# een graaf is met de eigenschap that elke verticale lijn #X# in hooguit één punt snijdt, dan is #X# de graaf van een functie.
Een cirkel is niet de grafiek van een functie. Wanneer we de cirkel bekijken in het #x,y#-vlak met het middelpunt op de oorsprong, is al snel te zien dat we hier niet één functie bij te vinden is. Er zou immers bij elke waarde van #x# uit het domein maar één waarde van #y# moeten zijn. Bekijk nu de #x#-as, #x=0#. Die snijdt bovenstaande cirkel in twee punten, namelijk voor #y=1# en #y=-1#. Dit is in strijd met bovenstaande regel. Er is dus geen functie waarvan de grafiek samenvalt met deze cirkel.
Als #X# de graaf van een functie #f# is, dan is het domein van #f# de verzameling punten #x#, zodat de verticale lijn door #\rv{x,0}# de graaf #X# (in één punt) snijdt.
Een lijn is bepaald door twee punten die erop liggen. We berekenen de punten op de grafiek met #x#-coördinaat gelijk aan #0#, respectievelijk #2#:
- #x=0# geeft #f(0)=6#
- #x=2# geeft #f(2)=2\cdot 2 +6=10#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
