Functies: Veeltermen
Rekenen met veeltermen
Als #f(x)# en #g(x)# twee veeltermen zijn en #c# is een reëel getal, dan zijn de volgende uitdrukkingen ook veeltermen:
- #c\cdot f(x) #
- # f(x)+g(x)#
- # f(x)-g(x)#
- # f(x)\cdot g(x)#
- Vermenigvuldigen van een veelterm met een constante komt neer op het vermenigvuldigen van elke term van de veelterm met die constante.
- Optellen van twee veeltermen in #x# komt neer op het optellen van de coëfficiënten van termen met dezelfde macht van #x#.
- Aftrekken van een veelterm #g(x)# van een veelterm #f(x)# komt neer op het aftrekken van de coëfficiënten van termen in #g(x)# van de coëfficiënten met dezelfde macht van #x# in #f(x)#.
- Vermenigvuldigen van twee veeltermen wordt verkregen door elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm te vermenigvuldigen en alle producten op te tellen.
De regels geven aan hoe we veeltermen kunnen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Het quotiënt #\dfrac{f(x)}{g(x)}# van twee veeltermen is niet altijd een veelterm, maar geeft wel een rationale functie. Hierop gaan we later in.
Laat #f(x)# en #g(x)# veeltermen zijn van graad respectievelijk #m# en #n#, en laat #c#een reëel getal.
- De graad van #c\cdot f(x)# is de graad van #f(x)# als #c\ne0#.
- De graad van #f(x)\cdot g(x)# is de som van de graden van #f(x)# en #g(x)#.
- Als #m\gt n#, dan is de graad van #f(x)+g(x)# gelijk aan de graad van #f(x)#.
- Als #m=n#, dan is de graad van #f(x)+g(x)# kleiner dan of gelijk aan de graad van #f(x)#.
Om de uitspraken te bewijzen schrijven we #f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+ a_0# en #g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_0# als boven. We nemen aan dat #a_m# en #a_n# niet #0# zijn, en dat #m\ge n#.
1. De leidende coëfficiënt van #c\cdot f(x)# is #c\cdot a_m#; deze komt voor als coëfficiënt van #x^m#. Vandaar dat de graad van #c\cdot f(x)# gelijk is aan #m#.
2. De leidende coëfficiënt van #f(x)\cdot g(x)# is #a_m\cdot b_n#; deze komt voor als coëfficiënt van #x^{m+n}#. Vandaar dat de graad van #f(x)\cdot g(x)# gelijk is aan #m+n#.
3. De leidende coëfficiënt van #f(x)+g(x)# is #a_m#; deze komt voor als coëfficiënt van #x^{m}#. Vandaar dat de graad van #f(x)+g(x)# gelijk is aan #m#.
4. De leidende coëfficiënt van #f(x)+g(x)# is #a_m+b_m#, tenzij dit getal gelijk is aan nul; deze komt voor als coëfficiënt van #x^{m}#. Vandaar dat de graad van #f(x)+g(x)# gelijk is aan #m# of, als #a_m+b_m=0#, kleiner.
Om het product van #f(x)# en #4# te berekenen vermenigvuldigen we de coëfficiënt van elke macht van #x# in #f(x)# met #4#:
\[\begin{array}{rcl}4\cdot f(x)&=&
4\cdot \left(x^3+3\cdot x^2-8\cdot x-16\right)\\
&=&{ -64+{ (4\cdot3)\cdot x^2 }+{ (4\cdot-8)\cdot x }+{ (4\cdot-16) }} \\
&=& 4\cdot x^3+12\cdot x^2-32\cdot x-64\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
