Het begrip limiet

Functies: Inleiding tot functies

Het begrip limiet

Limiet

Laat $a$ en $b$ reële getallen zijn en laat $f$ een reële functie zijn die gedefinieerd is op een open interval dat $a$ bevat.

We zeggen dat $f$ limiet $b$ heeft in $a$ als $f(x)$ steeds dichter bij $b$ komt naarmate $x$ steeds dichter bij $a$ komt.

In dit geval schrijven we $\textstyle\lim_{x\to a} f(x) = b$ of $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = b$ .

Preciezer: $b$ is de limiet van $f$ in $a$ als er voor elk (willekeurig klein) positief getal $\epsilon$ er een positief getal $\delta$ te vinden is met $|b-f(x)|\le\epsilon$ voor alle $x\in\ivoo{a-\delta}{a+\delta}$ met $x\ne a$ .

Als $b=\infty$ , dan is $b$ de rechter limiet van $f$ in $a$ als er voor elk (willekeurig groot) getal $M$ een positief getal $\delta$ te vinden is met $f(x)\ge M$ voor alle $x\in\ivoo{a-\delta}{a+\delta}$ met $x\ne a$ .

Als $b=-\infty$ , dan is $b$ de rechter limiet van $f$ in $a$ als er voor elk (willekeurig negatief) getal $M$ een positief getal $\delta$ te vinden is met $f(x)\le M$ voor alle $x\in\ivoo{a-\delta}{a+\delta}$ met $x\ne a$ .

De rationele functie $f(x) = \dfrac{3\cdot x+6}{x+2}$ is overal gedefinieerd behalve in $-2$ .

Wat is de limiet van $f$ in $-2$ ?

$\lim_{x\to -2}f(x)=$ $3$

Dit volgt uit het feit dat $f(x)=3$ voor elke waarde van $x$ dichtbij (maar verschillend van) $-2$ .

Nieuw voorbeeld