Monotonie

Toepassingen van differentiëren: Functieanalyse

Monotonie

Laat $f$ een functie zijn die gedefinieerd is op een interval $I$ .

$f$ heet stijgend als voor alle $c,d\in I$ met $c\lt d$ geldt $f(c)\lt f(d)$ .
$f$ heet dalend als voor alle $c,d\in I$ met $c\lt d$ geldt $f(c)\gt f(d)$ .
$f$ heet zwak stijgend als voor alle $c,d\in I$ met $c\lt d$ geldt $f(c)\le f(d)$ .
$f$ heet zwak dalend als voor alle $c,d\in I$ met $c\lt d$ geldt $f(c)\ge f(d)$ .

Een functie die alleen stijgend of alleen dalend is, heet monotoon.

De grafiek van een stijgende functie gaat naar rechtsboven.

Aan de hand van de afgeleide valt op te maken of een functie stijgend of dalend is.

Afgeleidecriterium voor monotonie

Stel dat $f$ een continue functie is op $I$ die differentieerbaar is op het open interval $\ivoo{a}{b}$ waar $a$ en $b$ de randpunten van $I$ zijn.

Als $f'(x)\gt0$ voor alle $x\in\ivoo{a}{b}$ , dan is $f$ stijgend op $I$ .
Als $f'(x)\lt0$ voor alle $x\in\ivoo{a}{b}$ , dan is $f$ dalend op $I$ .
Als $f'(x)\ge0$ voor alle $x\in\ivoo{a}{b}$ , dan is $f$ zwak stijgend op $I$ .
Als $f'(x)\le0$ voor alle $x\in\ivoo{a}{b}$ , dan is $f$ zwak dalend op $I$ .

Beschouw de functie $f(x) = x^2\cdot \euler^ {- 2\cdot x }$ . Op welke interval(len) stijgt deze functie?

Schrijf je antwoord in de vorm $a \leq x \leq b$ als het slechts één interval is of $(a \leq x \leq b) \lor ( c \leq x \leq d)$ als het om twee intervallen gaat. Hierbij zijn $a$ , $b$ , $c$ en $d$ exacte getallen.

Gebruik, indien nodig, de waarden van de afgeleide uit onderstaande tabel.

$x$	$-0.5$	$0.5$	$1.0$	$2.0$
$f'(x)$	$-4.08$	$0.18$	$0.00$	$-0.07$

$0\leq x \leq 1$

De functie $f$ is stijgend op een interval $I$ als $f'(x) \ge 0$ voor alle $x$ in $I$ . De eerste afgeleide van de functie is:

$f'(x)= 2\cdot x\cdot \euler^ {- 2\cdot x }-2\cdot x^2\cdot \euler^ {- 2\cdot x } \tiny.$ Door $x-1$ en $x$ buiten haakjes te halen kunnen we dit herschrijven tot

$f'(x)=-2\cdot \left(x-1\right)\cdot x\cdot \euler^ {- 2\cdot x }\tiny.$ De grafiek van deze afgeleide snijdt de $x$ -as in $x=0$ en $x=1$ . Nu kijken we in de tabel om het teken van de afgeleide te bepalen aan weerszijden van de punten $x=0$ en $x=1$ . Voor $x \ge 0$ en $x \le 1$ , is $f'(x)$ $\text{positief}$ , dus stijgt $f(x)$ op $\ivcc{0}{1}$ , dat wil zeggen: voor $0\leq x \leq 1$ .

Hieronder staat de grafiek van de functie $x^2\cdot \euler^ {- 2\cdot x }$ .

Nieuw voorbeeld