Multivariate functies: Basisconcepten
Functies van twee variabelen
Intuïtieve definitie van een functie van twee variabelen
Tot nu toe hebben we ons beperkt tot functies van één variabele. Deze functioneren simpelweg als machientjes die uit één getal een nieuw getal produceren volgens een gegeven formule. Maar je kunt natuurlijk ook machientjes en formules bedenken die uit twee getallen een nieuw getal produceren. We spreken dan van een functie van twee variabelen.
Herinner je uit de theorie Functies dat een functie van een verzameling #X# naar een verzameling #Y# een uniek element van #Y# toewijst aan elk element van #X#. In deze cursus bedoelen we met "functies" vrijwel altijd "reële functies". Dan geldt #Y=\mathbb R#, zowel voor reële functies van één variabele als voor functies van twee variabelen.
Voor reële functies van één variabele is #X# een deelverzameling van #\mathbb R#. In het geval van een functie van twee variabelen, is #X# een deelverzameling van #{\mathbb R}^2#, de verzameling van alle paren reële getallen. Een element van het domein is dus een punt van #{\mathbb R}^2# en wordt dus gewoonlijk aangegeven met coördinaten #\rv{x,y}#.
Je kunt je afvragen of er een begrip bestaat dat correspondeert met een machientje dat twee nieuwe getallen (in plaats van een enkel getal) produceert uit twee gegeven getallen. Dat is er inderdaad: een afbeelding van #{\mathbb R}^2# naar #{\mathbb R}^2#.
Drie eenvoudige voorbeelden van functies met twee variabelen
- De oppervlakte \(O\) van een driehoek met basis \(b\) en hoogte \(h\): \[O(b,h)=\tfrac{1}{2}\cdot b\cdot h\tiny.\]
- De afstand \(s\) afgelegd bij eenparige beweging met snelheid \(v\) en tijdsduur \(t\): \[s(v,t) = v\cdot t\tiny.\]
- De melkconsumptie #x# als functie van de melkprijs #p# en het gemiddelde inkomen #m# per gezin: \[3\cdot \frac{m^{2.07}}{p^{1.4}}\tiny.\]
Deze voorbeelden zijn gepresenteerd in de vorm van een functievoorschrift, dat wil zeggen: een beschrijving van het machientje dat het nieuwe getal produceert uit #\rv{b,h}# in het eerste voorbeeld en uit #\rv{v,t}# in het tweede voorbeeld.
In het tweede voorbeeld is het functievoorschrift de uitdrukking \(v\cdot t\). De afhankelijke variabele #s# is expliciet opgeschreven, geïsoleerd van de onafhankelijke variabelen #v# en #t#.
De terminologie van functies die we al kennen, wordt ook bij functies van meer variabelen gebruikt.
Functies van twee variabelen
Een relatie tussen drie variabelen \(x\), \(y\) en \(z\), waarbij \(x\) en \(y\) als onafhankelijke variabelen optreden, is een functie \(z=z(x,y)\) als bij elke toelaatbare waarden voor \(x\) en \(y\) precies één waarde voor \(z\) hoort. Deze waarde #z# heet de waarde van de functie in het punt #\rv{x,y}#.
De verzameling van alle paren #\rv{x,y}# van toelaatbare waarden voor \(x\) en \(y\) noemt men het domein van de functie. Als #D# het domein is, spreken we van een functie op #D#.
De waarde van \(z\) passend bij een punt #\rv{x,y}# van het domein heet de functiewaarde in #\rv{x,y}#.
Alle functiewaarden die kunnen voorkomen, vormen samen het bereik van de functie.
De grafiek van een relatie tussen drie variabelen is de verzameling van alle punten #\rv{x,y,z}# die voldoen aan de relatie. In het bijzonder is de grafiek van een functie #f# van twee variabelen de verzameling van alle punten #\rv{x,y,f(x,y)}#, waarbij #\rv{x,y}# de punten van het domein van #f# doorloopt.
De definitie van een grafiek is een voor de hand liggende generalisatie van het begrip grafiek voor functies van één variabele.
Invullen van #x=4# en #y=-3# in de uitdrukking # (6(3{x}^2+{y})){x}\cdot{y}-6{x}\cdot{y}# geeft \[ (6\cdot (3\cdot (4)^2+(-3)))\cdot (4)\cdot (-3)-6\cdot (4)\cdot (-3)\tiny.\] Doorrekenen leidt tot het resultaat #-3168#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
