Multivariate functies: Basisconcepten
Multivariate functies
De definitie van een functie van twee variabelen kan worden uitgebreid naar meer variabelen.
Multivariate functies
Een reëelwaardige functie #f# van #n# variabelen #x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n# kent een uniek reëel getal toe aan elke keuze #\rv{a_1,a_2,\ldots,a_n}# van reële getallen voor #\rv{x_1,\ldots,x_n}# binnen een aangegeven deel van #\mathbb{R}^n#.
- Dit getal heet de waarde van #f# in #\rv{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n}# en wordt aangeduid door #f(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n)#.
- De uitdrukking #f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)# geeft meestal een formule die beschrijft hoe de waarde van #f# in #\rv{a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n}# berekend kan worden door #a_1# voor #x_1# in te vullen, #a_2# voor #x_2#, enzovoort. Deze uitdrukking wordt het functievoorschrift van #f# genoemd.
- Het aangegeven deel van #\mathbb{R}^n#, dat wil zeggen: alle punten waaraan #f# een waarde toekent, heet het domein van de functie.
- De verzameling van alle waarden van #f# is het bereik van de functie.
Als #n=1#, dan zijn we terug bij het geval van een enkele variabele, dat bestudeerd is in verschillende voorgaande hoofdstukken.
Als we het getal #n# niet willen benadrukken, verwijzen we ook naar een functie van #n# variabelen als een multivariate functie. Voor #n=2# is de naam functie van twee variabelen al ingevoerd; soms wordt ook de naam bivariate functie gebruikt.
In dit hoofdstuk zullen we vooral functies van #2# of #3# variabelen bestuderen.
Afbeeldingen
Je kunt je afvragen of er een begrip is dat overeenkomt met een kleine machine die een lijst met nieuwe getallen produceert (in plaats van een enkel getal) uitgaande van een bepaalde lijst van getallen. Dat is er: een afbeelding.
In het algemeen kent een afbeelding van een verzameling #X# naar een verzameling #Y# een uniek element van #Y# toe aan elk element van #X#. In theorie Functies werd een afbeelding een functie genoemd, maar vaak wordt het begrip functie gereserveerd voor een afbeelding naar een verzameling getallen.
De afbeelding die een lijst van #3# getallen produceert uitgaande van een lijst met twee getallen kan worden gezien als een afbeelding van #{\mathbb R}^2# naar #{\mathbb R}^3#. Een andere manier om te er tegenaan te kijken is als een lijst van drie functies op #{\mathbb R}^2#, één voor elke coördinaat van #{\mathbb R}^3#. De afbeelding die \[\rv{\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},\e^{x},\e^{y}}\] toekent aand #\rv{x,y}# is een voorbeeld, waarvan de coördinaatfuncties #\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}# , #\e^{x}# en #\e^{y}# zijn. Merk op dat haar domein #{\mathbb R}^2\setminus\{\rv{0,0}\}# is in plaats van #{\mathbb R}^2#: de afbeelding is niet gedefinieerd in #\rv{0,0}#.
Om de waarde van de functie #f# te berekenen in een punt #\rv{x,y,z}# vervangen we de waarden van #x#, #y# en #z# in het functievoorschrift als volgt:
\[f(-1,3,2) = \frac{9\cdot (-1)^3}{3}+5\cdot(3)^2\cdot {2} + 2\cdot(-1)\cdot(3)=81\tiny.\]
Dus is de waarde van de functie #f# in #\rv{-1,3,2}# gelijk aan #81#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
