Multivariate functies: Partiële afgeleiden
Hogere partiële afgeleiden
Hogere partiële afgeleiden ontstaan door een multivariate functie herhaald partieel te differentiëren.
Partiële afgeleiden van hogere orde
De partiële afgeleiden van een functie van #m# variabelen zijn op zichzelf weer functies van #m# variabelen. Je kunt er dus opnieuw partiële afgeleiden van bepalen. Die worden partiële afgeleiden van de tweede orde genoemd.
In het algemeen zijn de partiële afgeleiden van de functie #f(x_1,x_2,\ldots,x_m)# van de #k#-orde de functies van de vorm\[\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}\frac{\partial}{\partial x_{i_2}}\cdots \frac{\partial}{\partial x_{i_k}}f(x_1,x_2,\ldots,x_m)\tiny,\]waarbij #i_1,i_2,\ldots,i_k# natuurlijke getallen tussen #1# en #m# zijn.
Zo zijn de partiële afgeleiden van \(f(x,y)\) van de tweede orde gelijk aan \[\begin{array}{rcl}\frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) &,& \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) ,\\\frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right)&,& \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right) \tiny.\end{array}\]
Van de volgende functie van twee variabelen \[f(x,y)=\frac{x}{x+y}\] zijn de partiële afgeleiden met de quotiëntregel uit te rekenen: \[\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{x}{x+y}\right) = \frac{y}{(x+y)^2}&\text{ en }&\frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{x}{x+y}\right) = -\frac{x}{(x+y)^2}\tiny.\end{array}\] We gebruiken dit resultaat om de partiële afgeleiden van \(f(x,y)\) van de tweede orde te berekenen: \[\begin{array}{rcl}\frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) &=& \frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{y}{(x+y)^2}\right) = -2\frac{y}{(x+y)^3} \\ \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) &=& \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{y}{(x+y)^2}\right) = \frac{x-y}{(x+y)^3}\\ \frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right) &=& \frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(-\frac{x}{(x+y)^2}\right) = \frac{x-y}{(x+y)^3} \\ \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right) &=& \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left( -\frac{x}{(x+y)^2}\right) = -2\frac{x}{(x+y)^3} \\\end{array}\]Wat opvalt is dat de 'gemengde' afgeleiden \(\frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right)\) en \(\frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right)\) aan elkaar gelijk zijn. Dat is geen toeval: zie de volgende stelling.
Commuteren van gemengde afgeleiden Als de partiële afgeleiden van \(f(x,y)\) van eerste en tweede orde bestaan en continu zijn, dan doet de volgorde van de partiële afgeleiden er niet toe bij het nemen van hogere afgeleiden:\[\frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right)=\frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right)\]
Notatie voor hogere afgeleiden De volgende notatie voor afgeleiden van tweede orde wordt gebruikt: \[\begin{array}{ccccccc} \frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) & = & \frac{\partial^2}{\partial x^2}\! f(x,y) & = & \frac{\partial^2f}{\partial x^2}\! (x,y) & = & f_{xx}(x,y) \\ \\ \frac{\partial}{\partial x}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right) & = & \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\! f(x,y) & = & \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\! (x,y) & = & f_{xy}(x,y)\\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial x}\! f(x,y)\right) & = & \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}\! f(x,y) & = & \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\! (x,y) & = & f_{yx}(x,y) \\ \\ \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\! f(x,y)\right) & = & \frac{\partial^2}{\partial y^2}\! f(x,y) & = & \frac{\partial^2f}{\partial y^2}\! (x,y) & = & f_{yy}(x,y) \end{array}\] Soortgelijke notatie wordt gebruikt voor hogere partiële afgeleiden en voor partiële afgeleiden van functies van meer dan twee variabelen.
Notitie: in de meeste tekstboeken wordt de notatie \(f_{yx}\) voor \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\! (x,y)\) gebruikt. Omdat voor functies met continue afgeleiden geldt dat \(f_{xy}=f_{yx}\), maakt het niet uit.
Immers, bij partieel differentiëren van \(f\) naar \(y\) beschouwen we \(x\) als een constante. Omdat de afgeleide van de exponentiële functie gelijk is aan de exponentiële functie krijgen we
\[\begin{array}{rcl}\frac{\partial^2}{\partial y^2} \e^{x+y}&=&
\frac{\partial^2}{\partial y^2} \left(\e^{x}\cdot \e^{y}\right)\\
&&\phantom{xxxuvw}\color{blue}{\e^{x+y}=\e^x\cdot\e^y}\\&=&
\e^x\cdot \frac{\partial^2}{\partial y^2}\e^y\\&&\phantom{xxxuvw}\color{blue}{\e^{x}\text{ opgevat als een constante}}\\&=&\e^x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\!\!\left(\frac{\partial}{\partial y} \e^y\right)\\&&\phantom{xxxuvw}\color{blue}{\text{definitie }\frac{\partial^2}{\partial y^2} }\\&=&\e^x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\e^y\\&&\phantom{xxxuvw}\color{blue}{\text{afgeleide van }\e^y}\\&=&\e^x\cdot \e^y\\&=&\e^{x+y}\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.