Multivariate functies: Partiële afgeleiden
Elasticiteit in twee variabelen
We brengen in herinnering dat, voor een positieve differentieerbare functie #f# in één variabele, de elasticiteit voor #x \gt 0# wordt gedefinieerd als:
\[{\rm El}_xf(x)=f'(x) \cdot \dfrac{x}{f(x)}\tiny.\]
Hier behandelen we het geval van twee variabelen.
Elasticiteit
Laat #f# een bivariate functie zijn met positieve waarden op een domein binnen #\{\rv{x,y}\in\mathbb{R}^2\mid x\ge0\land y\ge0\}#. De elasticiteit van #f# naar #x# is gedefinieerd als:
\[{\rm El}_{x}f(x,y)=f_x(x,y) \cdot \dfrac{x}{f(x,y)}\tiny.\]
De elasticiteit van #f# naar #y# wordt gedefinieerd als \[{\rm El}_y{f}(x,y)=f_y(x,y) \cdot \dfrac{y}{f(x,y)}\tiny.\]
#{\rm El}_{x}z(x,y)=# #x+3#
#{\rm El}_yz(x,y)=# #y+3#
De elasticiteit #{\rm El}_xz(x,y)# naar #x# kan als volgt worden berekend: bepaal eerst de partiële afgeleide van #z# naar #x#:
\[ \begin{array}{rcl}
z_x (x,y)&=&\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left( x^3\cdot y^3\cdot \euler^{y+x} \right)\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschrift van }z}\\
&=&\displaystyle x^3\cdot y^3\cdot \euler^{y+x}+3\cdot x^2\cdot y^3\cdot \euler^{y+x} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{partiële afgeleide berekend}}\\
\end{array}\]
Bepaal hiermee de elasticiteit #{\rm El}_xz(x,y)# naar #x#:
\[ \begin{array}{rcl}
{\rm El}_{x}z(x,y)& =&z_x(x,y) \cdot \dfrac{x}{z(x,y)}\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van elasticiteit }}\\
& =&\displaystyle\frac{x}{x^3\cdot y^3\cdot \euler^{y+x}}\cdot \left(x^3\cdot y^3\cdot \euler^{y+x}+3\cdot x^2\cdot y^3\cdot \euler^{y+x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschriften gesubstitueerd }}\\
&=& \displaystyle x+3\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd }}\\
\end{array}\]
Het berekenen van #{\rm El}_{y}z(x,y)# werkt hetzelfde: bepaal eerst de partiële afgeleide van #z# naar #y#:
\[\begin{array}{rcl}
z_y(x,y) &=& \displaystyle x^3\cdot y^3\cdot \euler^{y+x}+3\cdot x^3\cdot y^2\cdot \euler^{y+x} \end{array}\]
Bepaal hiermee de elasticiteit #{\rm El}_{y}z(x,y)# naar #y#:
\[\begin{array}{rcl}
{\rm El}_{y}(x,y)& =&z_y(x,y) \cdot \dfrac{y}{z(x,y)}\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van elasticiteit }}\\
& =&\displaystyle\frac{y}{x^3\cdot y^3\cdot \euler^{y+x}}\cdot\left( x^3\cdot y^3\cdot \euler^{y+x}+3\cdot x^3\cdot y^2\cdot \euler^{y+x}\right)\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschriften gesubstitueerd }}\\
&=& \displaystyle y+3\\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array} \]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.