Convex en concaaf

Optimalisatie: Extreme punten

Convex en concaaf

De eerste twee feiten van de partiële afgeleiden test kunnen enigszins worden toegelicht door de meetkundige interpretatie van de voorwaarden die we hieronder geven.

Convexiteit en concaviteit

Laat $f(x,y)$ een bivariate functie zijn.

Als geen punt van het lijnsegment tussen twee punten op de grafiek van $f$ onder de grafiek van $f$ ligt, dan heet $f$ convex.
Als geen punt van het lijnsegment tussen twee punten op de grafiek van $f$ boven de grafiek ligt, dan heet $f$ concaaf.

Dezelfde definities kunnen gebruikt worden voor functies van één variabele. De grafiek van de functie $f(x)=x^2$ is een dalparabool en is dus convex. In het bivariate versie zijn de functies $g(x,y)=x^2$ en $h(x,y)=x^2+y^2$ beide convex, maar de functie $k(x,y)=x^2-y^2$ niet.

Een functie $f$ is dan en slechts convex als $-f$ concaaf is.

Laat $f(x,y)$ een bivariate functie zijn waarvan alle partiële afgeleiden van de eerste en tweede orde bestaan en continu zijn. Neem aan dat $D$ een open schijf is die ligt in het domein van $f$ . Geef de Hessiaan van $f$ aan met $H$ .

$f$ is dan en slechts dan convex op $D$ als, voor elk punt $\rv{a,b}$ in $D$ , geldt $H(a,b)\ge0$ en $f_{xx}(a,b)\ge0$ en $f_{yy}(a,b)\ge0$ .
$f$ is dan en slechts dan concaaf op $D$ als, voor elk punt $\rv{a,b}$ in $D$ , geldt $H(a,b)\ge0$ en $f_{xx}(a,b)\le0$ en $f_{yy}(a,b)\le0$ .

In algebraïsche termen, kan de interpretatie van convexiteit die gaat over lijnsegmenten als volgt worden omschreven:

Voor elk paar verschillende punten $\rv{a,b}$ en $\rv{c,d}$ van $D$ en voor elk reëel getal $\lambda$ met $0\le \lambda\le1$ , geldt de volgende ongelijkheid $f\left((1-\lambda)\cdot a+\lambda\cdot c,(1-\lambda)\cdot b+\lambda\cdot d)\right)\le (1-\lambda)\cdot f(a,b)+\lambda\cdot f(c,d)$

De meetkundige interpretatie van concaviteit kan net zo worden omschreven:

Voor elk paar verschillende punten $\rv{a,b}$ en $\rv{c,d}$ van $D$ en voor elk reëel getal $\lambda$ met $0\le \lambda\le1$ , geldt de volgende ongelijkheid $f\left((1-\lambda)\cdot a+\lambda\cdot c,(1-\lambda)\cdot b+\lambda\cdot d)\right)\ge (1-\lambda)\cdot f(a,b)+\lambda\cdot f(c,d)$

In het eerste geval van de partiële afgeleiden-test zijn de voorwaarden voor concaviteit voldaan op een kleine schijf rond het maximum.

Beschouw de volgende functie

$f(x,y)=A\cdot x^{a}\cdot y^{b}-q\cdot y-p\cdot x-r\tiny,$ waarbij

$A$ , $a$ , $b$ positieve constanten zijn met $a+b \le 1$ ,
$p$ , $q$ en $r$ willekeurige constanten zijn, en
het domein van $f$ is beperkt tot $x \ge 0\land y \ge 0$ .

Wat is de aard van $f$ ?

Je kunt de volgende uitdrukkingen voor de tweede orde afgeleiden en de Hessiaan van $f$ gebruiken:

$\begin{array}{rcl} f_{xx} &=& \left(A\cdot a^2-A\cdot a\right)\cdot x^{a-2}\cdot y^{b} \\ f_{xy}&=& A\cdot a\cdot b\cdot x^{a-1}\cdot y^{b-1} \\ f_{yy}&=& \left(A\cdot b^2-A\cdot b\right)\cdot x^{a}\cdot y^{b-2} \\ f_{xx} \cdot f_{yy} - f_{xy}^2 &=& -A^2\cdot a\cdot b\cdot \left(b+a-1\right)\cdot x^{2\cdot a-2}\cdot y^{2\cdot b-2} \end{array}$

$f$ is een concave functie.

Om aan te tonen dat de functie $f(x,y)$ concaaf is, checken we de volgende voorwaarden:

$\begin{array}{rcl} f_{xx} &\le& 0 \\ f_{yy} &\le& 0 \\ f_{xx}\cdot{}f_{yy}-(f_{xy})^2 &\ge& 0 \end{array}$ We controleren de tekens van $f_{xx}$ , $f_{yy}$ , en de Hessiaan $f_{xx}\cdot{}f_{yy}-(f_{xy})^2$ .

$\begin{array}{rcl} f_{xx} &=&\left(A\cdot a^2-A\cdot a\right)\cdot x^{a-2}\cdot y^{b} \\ &\le& 0 \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{door aanname, }0\lt a\lt a+b\le 1\text{, so }a^2-a\le 0}\\ \\ f_{yy} &=& \left(A\cdot b^2-A\cdot b\right)\cdot x^{a}\cdot y^{b-2} \\ &\le& 0 \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{door aanname, }0\lt b\lt a+b\le 1\text{, so }b^2-b\le0} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} f_{xx}\cdot{}f_{yy}-(f_{xy})^2 &=& \left( (a^2-a)\cdot A\cdot x^{a-2} \cdot y^b\right)\cdot \left( (b^2-b)\cdot A\cdot x^a y^{b-2}\right)\\&&\phantom{xx} - \left(a\cdot b\cdot A\cdot x^{a-1} y^{b-1}\right)^2\\ &=& a\cdot b\cdot(a-1)\cdot(b-1)\cdot A^2\cdot x^{2a-2}\cdot y^{2b-2}\\ &&\phantom{xx}-a^2\cdot b^2\cdot A^2\cdot x^{2a-2}\cdot y^{2b-2} \\ &=& a\cdot b\cdot A^2\cdot x^{2a-2}\cdot y^{2b-2}\cdot \left((a-1)(b-1)-a\cdot b\right) \\ &=& a\cdot b\cdot A^2\cdot x^{2a-2}\cdot y^{2b-2}\cdot \left(a\cdot b-a-b+1-a\cdot b\right) \\ &=& a\cdot b\cdot A^2\cdot x^{2a-2}\cdot y^{2b-2}\cdot (1-a-b)\\& \ge & 0\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{door aanname, } a+b\le 1} \end{array}$ Dus vanwege de stelling over concaviteit, is de functie concaaf op elke open schijf in het domein.

Nieuw voorbeeld