Ook twee kwadratische formules kunnen elkaar snijden in twee, één of geen punten.
We gaan nu kijken hoe we deze snijpunten vinden.
|
Stappenplan |
|
|
We bepalen het snijpunt van de kwadratische formules #y=a_1x^2+b_1x+c_1# en #y=a_2x^2+b_2x +c_2#.
|
Stap 1 |
We bepalen eerst de #x#-coördinaat van het snijpunt door de vergelijking \[a_1x^2+b_1x+c_1=a_2x^2+b_2x+c_2\] op te lossen door middel van herleiding en eventueel ontbinden in factoren, kwadraatafsplitsen of de abc-formule.
|
Stap 2 |
We bepalen de #y#-coördinaat van het snijpunt door het substitueren van de gevonden #x#-coördinaat in één van beide formules.
|
Net als bij het het snijpunt van een kwadratische formule en een lineaire formule kunnen we aan de grafiek zien hoe veel snijpunten de twee kwadratische formules hebben. Een andere optie is om de vergelijking in stap 1 op te lossen. Het aantal oplossingen van deze vergelijking is het aantal snijpunten dat er zijn. Dit kunnen er twee, één of geen zijn.
Bij het oplossen van de vergelijking in stap 1 kan het zijn dat er een lineaire vergelijking ontstaat als de waarden van #a_1# en #a_2# gelijk zijn. In dat geval hebben de kwadratische formules één of geen snijpunten.
Voorbeeld
Kwadratische formules #y=2x^2+5x+3# en #y=2x^2+3x-1#
Stap 1 |
Om de #x#-coördinaat van het snijpunt te vinden lossen we de vergelijking #2x^2+5x+3=2x^2+3x-1# op. Dat gaat als volgt.
\[\begin{array}{rcl}2x^2+5x+3&=&2x^2+3x-1 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\5x+3&=&3x-1 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{beide kanten min }2x^2}\\ 2x+3&=& -1 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{beide kanten min }3x}\\ 2x&=& -4 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{beide kanten min }3}\\ x&=& -2 \\&&\phantom{xx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }2} \end{array}\]
De #x#-coördinaat van het snijpunt is dus #x=-2#.
|
Stap 2 |
Om de #y#-coördinaat van het snijpunt te vinden substitueren we #x=-2# in #y=2x^2+5x+3#. Dat geeft: \[y=2 \cdot \left(-2\right)^2+5\cdot -2 +3=1\]
De #y#-coördinaat van het snijpunt is dus #y=1#.
|
Het snijpunt van #y=2x^2+5x+3# en #y=2x^2+3x-1# is dus #\rv{-2,1}#.
Bereken de snijpunten van de parabolen gegeven door
\[y = x^2+3\cdot x-4\phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx} y = x^2-3\cdot x-4\tiny.\]
Geef je antwoord in de vorm
- #geen# #\phantom{xxxwwxx}# als er geen snijpunt is,
- #\left\{\rv{a,b}\right\}\phantom{xxxww}# als er één snijpunt is en
- #\left\{\rv{a,b},\rv{c,d}\right\}\phantom{x}# als er twee snijpunten zijn,
waarbij #a#, #b#, #c#, #d# exacte getallen zijn.
#\left\{\rv{0,-4}\right\}#
Stap 1 |
De #x#-coördinaat van een punt dat op beide parabolen ligt, moet voldoen aan \[x^2+3\cdot x-4 = x^2-3\cdot x-4\tiny.\]
We lossen deze vergelijking op, nadat we hem eerst herleid hebben op #0#. \[\begin{array}{rcl} x^2+3\cdot x-4&=&x^2-3\cdot x-4 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\ 6\cdot x &=& 0\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{alle termen naar links gebracht}}\\ \displaystyle x&=&\displaystyle 0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{vergelijking opgelost}} \end{array}\]
|
Stap 2 |
We berekenen de bijbehorende #y#-waarde door #x=0# te subsitueren in één van beide formules van de parabolen. We kiezen hieronder voor de eerste formule. \[\begin{array}{rcl} y&=& \left(0\right)^2 + 3 \cdot \left(0\right) -4\\ &=&\displaystyle -4 \end{array}\] |
De conclusie is dat er #1# snijpunt is, gegeven door: \[ \left\{\rv{0,-4}\right\}\tiny. \]
In onderstaande figuur is de parabool #y=x^2+3\cdot x-4# in het blauw getekend en #y=x^2-3\cdot x-4# in het groen. Het snijpunt is rood getekend.