Polynomen

Functies: Hogeregraadsfuncties

Polynomen

Poly‍nomen

Een poly‍noom of veel‍ter‍m is een functie van de vorm

\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_2x^2+a_1x+a_0\]

Hierbij zijn #a_1#, #a_2#, #\ldots#, #a_n# getallen en #a_n \ne 0# en #n# is een positief geheel getal.

We noemen #n# de gr‍aad van de veelterm.

De getallen #a_1#, #a_2#, #\ldots#,#a_{n-1}#, #a_n# heten de coëfficiënten van de polynoom. Hierbij wordt #a_n# de leidende coëfficiënt genoemd.

Voorbeelden

\[\begin{array}{rcl}f(x)&=& 2x^2+3 \\ \\ g(x)&=&4x^5+3x^2-4x+6 \\ \\ h(x)&=&-\frac{1}{2}x^6+3x^4 \\ \\ k(x)&=&5\end{array}\]

Voorbeeld gra‍ad

De graad van #f(x)= 2x^2+3# is gelijk aan #2#. De leidende coëfficiënt is gelijk aan #2#.

De graad van #g(x)=4x^5+3x^2-4x+6# is gelijk aan #5#. De leidende coëfficiënt is gelijk aan #4#.

De graad van #h(x)=-\frac{1}{2}x^6+3x^4# is gelijk aan #6#. De leidende coëfficiënt is gelijk aan #-\frac{1}{2}#.

De graad van #k(x)=5# is gelijk aan #0#. De leidende coëfficiënt is gelijk aan #5#.

Lineair en kwadratisch

Eerder hebben we al lineaire en kwadratische functies gezien. Dit zijn beide polynomen.

Een lineaire functie is een polynoom van graad #1#. We noemen het daarom ook wel een eerstegraadsfunctie.

Een kwadratische functie is een polynoom van graad #2#. We noemen het daarom ook wel een tweedegraadsfunctie.

Haakjes

Bij kwadratische functies zagen we dat we #f(x)=\left(x-2\right) \left(x+3\right)# konden herkennen als een kwadratische functie door de haakjes uit te werken.

Ook bij polynomen werken we de haakjes uit om te herkennen dat een functie een polynoom is. Op die manier wordt meteen duidelijk van welke graad de polynoom is.

Voorbeeld

Bekijk de functie #f(x)=x^2\left(x-3\right)\left(x+5\right)#. We werken bij deze functie de haakjes uit.

\[\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2\left(x-3\right)\left(x+5\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{gegeven functie}} \\ &=&x^2\left(x^2 +2x-15\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dubbele haakjes weggewerkt}} \\ &=&x^4+2x^3-15x^2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{enkele haakjes weggewerkt}} \end{array}\] Dus de functie #f(x)=x^2\left(x-3\right)\left(x+5\right)# is een polynoom van graad #4#.

Grafiek

De grafiek van een polynoom van graad #n# heeft maximaal #n# nulpunten en maximaal #n-1# toppen. Het kunnen er ook minder zijn.

Voorbeeld

#f(x)=x^4-3x^2+2#

Welke graad heeft de veelterm #f(x)=6 x^2-9 x-8#?

#2#

Een veelterm heeft de vorm #f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_2x^2+a_1x+a_0#. Hierbij zijn #a_1#, #a_2#, #\ldots#, #a_n# getallen en #a_n \ne 0# en #n# is de graad van de veelterm.
In dit geval is de graad dus gelijk aan #2#.

Nieuw voorbeeld