Résolution d'un système par combinaison

Systèmes d'équations: Deux équations à deux inconnues

Résolution d'un système par combinaison

Nous avons vu comment résoudre un système d'équations par substitution. Il existe une autre méthode pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, à savoir la méthode de combinaison linéaire. Cette méthode peut également être appliquée à des systèmes de plusieurs équations linéaires à plusieurs inconnues, alors que la méthode de substitution peut être assez compliquée dans le cas de ces systèmes.

Graphique

GeoGebra plaatje

Méthode de combinaison linéaire

	Procédure	Exemple
	Lors de la résolution d'un système de deux équations linéaires à deux inconnues en utilisant la méthode de combinaison linéaire, nous appliquons la procédure suivante.	Résolvez le système suivant: $\lineqs{\quad 2 \cdot x +4 \cdot y+5&= \quad 0 \cr \quad -3 \cdot x +2 \cdot y -4&= \quad 0 \cr}$
Étape 1	Multipliez la première et / ou la deuxième équation par un nombre telle que les coefficients des $x$ ou des $y$ sont les mêmes dans les deux équations.	$\lineqs{2 \cdot x +4 \cdot y+5=0 \cr -6 \cdot x +4 \cdot y -8=0 \cr}$
Étape 2	Soustrayez la deuxième équation de la première. Nous obtenons alors une équation en $x$ ou en $y$ .	$\begin{array}{rcl}2 \cdot x +4 \cdot y+5&=&0 \\ -6 \cdot x +4 \cdot y -8&=&0\\ \hline 8\cdot x+13&=&0\end {array} -$
Étape 3	Résolvez l'équation de l'étape 2 par réduction.	$x=-\frac{13}{8}$
Étape 4	Substituez la valeur obtenue à l'étape 3 dans l'une des équations données pour déterminer la valeur de l'autre inconnue.	$\begin{array}{rcl}2 \cdot -\frac{13}{8}+4 \cdot y +5&=&0\\ 4 \cdot y +\frac{7}{4}&=&0\\ 4 \cdot y&=&-\frac{7}{4} \\ y&=&-\frac{7}{16} \end {array}$
Étape 5	Donnez la réponse sous la forme $\lineqs{ x & =\;\; \ldots \\ y &=\;\; \ldots }$	$\lineqs{ x &= \;\; -\frac{13}{8} \\ y &= \;\; -\frac{7}{16} }$

Autre combinaison linéaire

À l'étape 4, il est également possible d'effectuer les étapes 1 à 3 à nouveau, mais en multipliant les équations données telle que l'autre inconnue a le même coefficient dans les deux équations.

Résolvez le système d'équations suivant par combinaison linéaire.

$\lineqs{-x+y&=&-6\cr 6\cdot x-y&=&-4\cr }$

$\lineqs{x&=&-2\cr y&=&-8\cr }$

Dans le système donné, le coefficient de $y$ dans la première équation est égal à l'opposé du coefficient de $y$ dans la deuxième équation. Ainsi, nous pouvons éliminer la variable $y$ dans la première équation en remplaçant celle-ci par la somme des équations données. Ainsi, nous commençons à l'étape 2 de la procédure.

Étape 2	$\begin{array}{rcl}-x+y&=&-6 \\ 6\cdot x-y&=&-4\\ \hline 5\cdot x&=&-10\end{array}+$
Étape 3	Nous pouvons réduire cette équation pour obtenir $x$ . $\begin{array}{rcl} 5\cdot x&=&-10 \\&&\phantom{x}\blue{\text{équation à résoudre}} \\ x&=& -2 \\&&\phantom{x}\blue{\text{division par }5} \end{array}$
Étape 4	Nous substituons $x=-2$ dans la deuxième équation. Nous obtenons: $\begin{array}{rcl} 6\cdot {-2}-y &=&-4 \\&&\phantom{xyz}\blue{\text{substitution de }x=-2 \text{ dans la deuxième équation}}\\ -12-y&=&-4\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{calculs effectués}}\\ -y&=&8\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{addition de }12\text{ aux deux membres}}\\ y&=&-8\\&&\phantom{xyz}\blue{\text{division des deux membres par }-1} \end{array}$
Étape 5	Finalement, la soution du système est $\lineqs{x&=&-2\cr y&=&-8\cr }$

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