Stelsels lineaire vergelijkingen: Stelsels lineaire vergelijkingen
Algemene oplossing stelsels lineaire vergelijkingen
Bij het oplossen van stelsels hebben we tot nu toe alleen gekeken naar het geval dat de twee lijnen één snijpunt hebben. We zullen nu ook kijken naar de andere opties.
Een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden kunnen we zien als twee lijnen in het platte vlak. We onderscheiden drie gevallen: |
Voorbeelden |
1) Er is precies één oplossing. Dat is het snijpunt van de twee lijnen. We noemen het stelsel regulier. |
#\lineqs{2 \cdot x- y+4=0 \cr x + y -6=0\cr} # |
2) Er is geen oplossing. Dat betekent dat de lijnen evenwijdig lopen. We noemen het stelsel strijdig. |
#\lineqs{x+ y+2 =0\cr x + y +5=0\cr} # |
3) Er zijn oneindig veel oplossingen. De lijnen zijn gelijk. We noemen het stelsel afhankelijk. |
#\lineqs{x+ y-2=0 \cr 2x + 2y -4=0\cr}# |
Herkennen stelsel
Substitutiemethode
Bij de substitutiemethode schrijven we in de eerste vergelijking #x=\ldots#, wanneer we dit substitueren in de tweede vergelijkingen vinden we bij
- een regulier stelsel een vergelijking met onbekende #y#;
- een strijdig stelsel een vergelijking zonder onbekende, die niet waar is.
- een afhankelijk stelsel een vergelijking zonder onbekende, die waar is.
Op dezelfde manier werkt het als we de tweede vergelijking schrijven als #y=\ldots# en substitueren in de eerste vergelijking, alleen dan vinden we bij een regulier stelsel een lineaire vergelijking met onbekende #x#.
Eliminatiemethode
De herkenning bij de eliminatiemethode werkt op soortgelijke wijze. Na het optellen van beide vergelijkingen (eventueel na vermenigvuldiging van één van beide of beide vergelijking met een getal), vinden we bij
- een regulier stelsel een vergelijking met één onbekende #x# of #y#;
- een strijdig stelsel een vergelijking zonder onbekende, die niet waar is.
- een afhankelijk stelsel een vergelijking zonder onbekende, die waar is.
Voorbeelden eliminatiemethode
\[\begin{array}{rcl} 2 \cdot x -y+4&=&0 \\ x + y -6&=&0\\ \hline 3 \cdot x-2&=&0\end{array}+\]
Deze vergelijking heeft één onbekende #x#, het stelsel is dus regulier.
\[\begin{array}{rcl} x +y+2&=&0 \\ x + y +5&=&0\\ \hline -3&=&0\end{array}-\]
Deze vergelijking is niet waar, het stelsel is dus strijdig.
\[\begin{array}{rcl} x +y-2&=&0 \\ x + y -2&=&0\\ \hline 0&=&0\end{array}-\]
Deze vergelijking is waar, het stelsel is dus afhankelijk.
\[\lineqs{y&=&-4\cdot x+4\cr
y&=&-3\cdot x+1\cr }\]
- Als je denkt dat het stelsel regulier is en er één oplossing is, schrijf dan #\lineqs{x&=&a\cr y&=&b\cr }# of #x=a \land y=b# met de juiste waarden voor #a# en #b#. Geef #a# en #b# als exacte getallen.
- Als je denkt dat het stelsel strijdig is en er geen oplossing is, schrijf dan #geen#.
- Als je denkt dat het stelsel afhankelijk is en er oneindig veel oplossingen zijn, schrijf dan #alle#.
#\lineqs{x&=&3\cr y&=&-8\cr }#
We kunnen dit stelsel oplossen met behulp van de substitutiemethode of de eliminatiemethode.
Substitutiemethode
Het gegeven stelsel vergelijkingen is:
\[\lineqs{y&=&-4\cdot x+4\cr
y&=&-3\cdot x+1\cr }\]
In dit geval zijn beide vergelijkingen van de vorm #y=\ldots#. We zullen daarom bij stap 2 van het stappenplan uit de theorie beginnen en de rol van #x# en #y# omdraaien.
Stap 2 | We substitueren de tweede vergelijking van de vorm #y=\ldots# in de eerste vergelijking. Dat geeft: \[\lineqs{-3\cdot x+1&=&-4\cdot x+4\cr y&=&-3\cdot x+1\cr }\] |
Stap 3 | Nu lossen we de eerste vergelijking uit het stelsel in stap 2 op voor #x# door middel van herleiding. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rclll} &\lineqs{-3\cdot x+1&=&-4\cdot x+4\cr y&=&-3\cdot x+1\cr }&\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{het op te lossen stelsel}} \\ &\lineqs{x+1&=&4\cr y&=&-3\cdot x+1\cr }&\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten eerste vergelijking min }-4\cdot x} \\ &\lineqs{x&=&3\cr y&=&-3\cdot x+1\cr }&\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten eerste vergelijking min }1} \\ &\lineqs{x&=&3 \cr y&=&-3\cdot x+1\cr }&\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten eerste vergelijking gedeeld door }1} \end{array}\] |
Stap 4 | Nu substitueren we de gevonden waarde van #x# in de tweede vergelijking om #y# te bepalen. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rclll} &\lineqs{x&=&3 \cr y&=&-3\cdot {3} +1\cr }&\\ &&\phantom{xxx}\blue{x=3 \text{ gesubstitueerd in de tweede vergelijking}} \\ &\lineqs{x&=&3 \cr y&=&-8\cr }&\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \end{array}\] |
Dit stelsel is dus regulier en heeft één oplossing: \[\lineqs{x&=&3\cr y&=&-8\cr }\]
Eliminatiemethode
De coëfficiënten van de termen met #y# zijn gelijk. Dus we kunnen de vergelijkingen direct van elkaar aftrekken. We beginnen dus met stap 2 van het stappenplan.
Stap 2 | \[\begin{array}{rcl}y&=&-4\cdot x +4\\y&=&-3\cdot x+1 \\ \hline 0&=&3-x \end{array} -\] |
Stap 3 | We lossen deze vergelijking op voor #x#. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rclll} 0&=&3-x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}} \\ -3&=&-x\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten min }3} \\ 3 &=&x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }-1} \\ \end{array}\] |
Stap 4 | Nu substitueren we #x=3# in de tweede oorspronkelijke vergelijking om #y# te vinden. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rclll} y&=&-3\cdot {3} +1&\\ &&\phantom{xxx}\blue{x=3 \text{ gesubstitueerd in de tweede vergelijking}} \\ y&=&-8&\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \end{array}\] |
Dit stelsel is dus regulier en heeft één oplossing: \[\lineqs{x&=&3\cr y&=&-8\cr }\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.