Meetkunde: Lijnen
Afstand punt tot een lijn
Wanneer we de afstand tussen twee objecten willen weten, zijn we altijd geïnteresseerd in de kortste afstand.
We zullen nu bekijken hoe we de afstand van een punt tot een lijn kunnen berekenen. Daarvoor zullen we eerst bekijken hoe we de afstand tussen twee punten kunnen berekenen.
Afstand tussen twee punten
De afstand tussen een punt #\blue P=\blue{\rv{x_P, y_P}}# en #\green Q=\green{\rv{x_Q, y_Q}}# is gelijk aan: \[d(\blue P,\green Q)=\sqrt{(\green{x_Q}-\blue{x_P})^2+(\green{y_Q}-\blue{y_P})^2}\]
Hierbij is #d(\blue P,\green Q)# de afkorting voor de afstand tussen #\blue P# en #\green Q#.
Nu we weten hoe we de afstand tussen twee punten kunnen berekenen, kunnen we ook de afstand tussen een punt #P# en een lijn #l# berekenen. De kortste afstand tussen #P# en lijn #l# vinden we met de loodlijn op lijn #l# door punt #P#. De afstand tussen punt #P# en lijn #l# is dus de afstand van punt #P# tot het snijpunt van de loodlijn en lijn #l#.
Afstand punt tot lijn
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
We berekenen de afstand van een punt #\blue P# tot een lijn #\green l#. |
#\blue P=\blue{\rv{2,4}}# #\green l: \green{y=2x+5}# |
|
Stap 1 |
Stel een vergelijking op van de loodlijn #\purple k# op lijn #\green l# door punt #\blue P#. |
#\purple k: \purple{y=-\tfrac{1}{2}x +5}# |
Stap 2 |
Bereken de coördinaten van het snijpunt #S# van loodlijn #\purple k# en lijn #\green l#. |
#S=\rv{0,5}# |
Stap 3 |
Bereken de afstand tussen #S# en #\blue P#. Dit is meteen ook de afstand tussen #\blue P# en #\green l#. |
#d(S,\blue P)=d(\blue P,\green l)=\sqrt{5}# |
De afstand tussen een punt #P# en #Q# bepalen we met behulp van de volgende formule:
\[d(P,Q)=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}\]
In dit geval geeft dat:
\[\begin{array}{rcl}d(P,Q)&=&\sqrt{(9-{8})^2+(0-{-8})^2} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\
&=& \sqrt{65} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \\
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.