Dubbele haakjes wegwerken

Algebra: Haakjes

Dubbele haakjes wegwerken

We hebben gezien hoe enkele haakjes weggewerkt kunnen worden. Naast enkele haakjes kunnen we ook dubbele haakjes wegwerken. Dit doen we met de zogenoemde bananenformule.

De bananenformule

Voorbeeld

Verband met enkele haakjes

Zoals de banaanvormige boogjes al aangeven, ontstaat het rechter lid in de bananenformule door tweemaal haakjes uit te werken: \[\begin{array}{rcl}(\blue{a}+\green{b})(\purple{c}+\orange{d}) &=& \blue{a} (\purple{c}+\orange{d}) + \green{b} (\purple{c}+\orange{d})\\ &=& \blue{a} \purple{c}+\blue{a} \orange{d} +\green{b} \purple{c} +\green{b} \orange{d}\end{array}\] Soms kan het handig zijn een vermenigvuldigingsschema te gebruiken: \[\begin{array}{c|c|c} & \purple{c} & \orange{d}\\ \hline \blue{a} & \blue{a} \purple{c} & \blue{a} \orange{d}\\ \hline \green{b} & \green{b} \purple{c} & \green{b} \orange{d} \end{array}\] Na het invullen van het schema tel je de vier producten bij elkaar op.

Op dezelfde manier kunnen we ook ingewikkeldere producten uitwerken.

Werk de haakjes weg en vereenvoudig zo ver mogelijk: #\left(z-7\right) \cdot \left(z + 8 \right)#.

#z^2+z-56#

#\begin{array}{rcl}
\left(z-7\right) \cdot \left(z + 8 \right) &=& z \cdot z + z \cdot 8 -7 \cdot z -7 \cdot 8 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{regel \(\left(a+b\right) \cdot \left(c+d\right) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d\) }}\\
&=& z^2 + 8\cdot z -7\cdot z -56
\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vermenigvuldigd }}\\
&=& z^2+z-56
\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}#

Nieuw voorbeeld