Symétrie dans le cercle trigonométrique

Trigonométrie: Sinus, cosinus et tangente d'angles

Symétrie dans le cercle trigonométrique

Nous avons vu que les valeurs de sinus et de cosinus se répètent pour chaque multiple de $2 \pi$ . Maintenant, nous allons étudier la symétrie dans le cercle trigonométrique.

Symétrie

Nous pouvons trouver trois types de symétrie dans le cercle trigonométrique, à savoir la symétrie par rapport à l'axe des $x$ , l'axe des $y$ et la droite $y=x$ . Nous pouvons en déduire les règles suivantes pour sinus et cosinus.

Symétrie par rapport à	Sinus	Cosinus
l'axe des $x$	$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$	$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$
l'axe des $y$	$\sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha)$	$\cos(\pi-\alpha) = -\cos(\alpha)$
la droite $y=x$	$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \cos(\alpha)$	$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha) = \sin(\alpha)$

Grâce à ces règles, nous avons seulement besoin de connaître les valeurs de sinus et de cosinus au premier quadrant, à savoir les valeurs de sinus et de cosinus pour $0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{4}$ . Dans la $0 \leq \alpha \leq \tfrac{\pi}{2}$ .

Exemples

Symétrie par rapport à	Sinus	Cosinus	GeoGebra
l'axe des $x$	$\begin{array}{rcl}\sin(\frac{5 \pi}{3})&=&\sin(-\frac{\pi}{3})\\ &=&-\sin(\frac{\pi}{3})\end {array}$	$\begin{array}{rcl}\cos(\frac{5 \pi}{3})&=&\cos(-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end {array}$
l'axe des $y$	$\begin{array}{rcl}\sin(\frac{2 \pi}{3})&=&\sin(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end {array}$	$\begin{array}{rcl}\cos(\frac{2 \pi}{3})&=&\cos(\pi-\frac{\pi}{3})\\&=&-\cos(\frac{\pi}{3})\end {array}$
la droite $y=x$	$\begin{array}{rcl}\sin(\frac{1}{6}\pi)&=&\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\cos(\frac{\pi}{3})\end {array}$	$\begin{array}{rcl}\cos(\frac{1}{6}\pi)&=&\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3})\\&=&\sin(\frac{\pi}{3})\end {array}$

Degrés Les mêmes règles s'appliquent pour les angles $\alpha$ en degrés.

Symétrie par rapport à	Sinus	Cosinus
l'axe des $x$	$\sin(360^\circ-\alpha) = -\sin(\alpha)$	$\cos(360^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)$
l'axe des $y$	$\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)$	$\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)$
la droite $y=x$	$\sin(90^\circ-\alpha) = \cos(\alpha)$	$\cos(90^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)$

Si vous connaissez les valeurs du cosinus et du sinus des angles remarquables entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ , vous pouvez calculer les valeurs des angles remarquables entre $\frac{\pi}{2}$ et $2\pi$ en utilisant la symétrie du cercle trigonométrie.

$\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ étant donné. Que vaut $\sin\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ ?

$\sin\left(\frac{7 \pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Les angles donnés sont liés les uns aux autres par la symétrie par rapport à l'axe des $x$ . Donc

$\sin\left(\frac{7 \pi}{4}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

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