Goniometrie: Goniometrische functies
Goniometrische vergelijkingen 2
We hebben gezien hoe we goniometrische vergelijkingen van de vorm #\sin(ax+b)=c#, #\cos(ax+b)=c# en #\tan(ax+b)=c# oplossen. Er is nog een vorm van goniometrische vergelijkingen die we eenvoudig kunnen oplossen, namelijk #\sin(A)=\sin(B)#, #\cos(A)=\cos(B)# en #\tan(A)=\tan(B)#, waarbij #A# en #B# uitdrukkingen in #x# zijn.
De oplossing van de vergelijking #\sin(\blue A)=\sin(\green B)#, waarbij #\blue A# en #\green B# uitdrukkingen in #x# zijn, heeft de oplossingen:
\[\blue A=\green B+k \cdot 2 \pi \lor \blue A=\pi-\green B+k\cdot 2\pi\]
Hierbij is #k# een geheel getal.
Voorbeeld
\[\sin(\blue{x+\pi})=\sin(\green{2x})\]
heeft als oplossingen
\[\blue{x+\pi}=\green{2x}+k\cdot2 \pi \lor \blue{x+\pi}=\pi-\green{2x}+k \cdot 2 \pi\]
De oplossing van de vergelijking #\cos(\blue A)=\cos(\green B)#, waarbij #\blue A# en #\green B# uitdrukkingen in #x# zijn, heeft de oplossingen:
\[\blue A=\green B+k \cdot 2 \pi \lor \blue A=-\green B+k\cdot 2\pi\]
Hierbij is #k# een geheel getal.
Voorbeeld
\[\cos(\blue{x+\pi})=\cos(\green{2x})\]
heeft als oplossingen
\[\blue{x+\pi}=\green{2x}+k\cdot2 \pi \lor \blue{x+\pi}=-\green{2x}+k \cdot 2 \pi\]
De oplossing van de vergelijking #\tan(\blue A)=\tan(\green B)#, waarbij #\blue A# en #\green B# uitdrukkingen in #x# zijn, heeft de oplossingen:
\[\blue A=\green B+k \cdot \pi \]
Hierbij is #k# een geheel getal.
Voorbeeld
\[\tan(\blue{x+\pi})=\tan(\green{2x})\]
heeft als oplossingen
\[\blue{x+\pi}=\green{2x}+k\cdot \pi\]
Geef je antwoord in de vorm: #x=x_1 \lor x=x_2 \lor \ldots x=x_n#, waarbij #x_1#, #x_2#, #\ldots#, #x_n# de juiste oplossingen en #n# het aantal oplossingen. Gebruik #k# als een willekeurig geheel getal.
#\begin{array}{rcl}
\sin\left({{\pi}\over{2}}+{{x}\over{3}}\right)&=&\sin\left(-\pi+{{x}\over{4}}\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\
{{\pi}\over{2}}+{{x}\over{3}}=-\pi+{{x}\over{4}}+2 \pi \cdot k &\lor& {{\pi}\over{2}}+{{x}\over{3}}=\pi-(-\pi+{{x}\over{4}})+2 \pi \cdot k \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{algemene regel voor oplossing }\sin(A)=\sin(B)}\\
x=\left(-18\right)\cdot \pi+24\cdot \pi\cdot k &\lor& x={{18\cdot \pi}\over{7}}+{{24\cdot \pi\cdot k}\over{7}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{herleid}}\\
\end{array}#
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.