Dérivée de fonctions trigonométriques

Dérivation: Dérivée de fonctions usuelles

Dérivée de fonctions trigonométriques

Il existe des règles pour calculer la dérivée des fonctions trigonométriques $\blue{\sin}(x), \green{\cos}(x)$ et $\purple{\tan}(x)$ . Ces règles ne s'appliquent que pour les fonctions trigonométriques exprimées en radians.

La dérivée de sinus

$\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{\sin}(x)=\green{\cos}(x)$

Exemple

$\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\blue{\sin}(x))=3\cdot\green{\cos}(x)$

La dérivée de cosinus

$\dfrac{\dd}{\dd x}\green{\cos}(x)=-\blue{\sin}(x)$

Exemple

$\dfrac{\dd}{\dd x}(4\cdot\green{\cos}(x))=-4\cdot\blue{\sin}(x)$

Nous pouvons écrire la dérivée de la tangente de deux manières.

La dérivée de la tangente

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}\purple{\tan}(x)&=&\dfrac{1}{\green{\cos}(x) ^2}\\\dfrac{\dd}{\dd x}\purple{\tan}(x)&=&1+\purple{\tan} (x)^2\end{array}$

Exemple

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\purple{\tan}(x))&=&\dfrac{3}{\green{\cos}(x)^2}\\\dfrac{\dd}{\dd x}(3\cdot\purple{\tan}(x))&=&3+3\cdot\purple{\tan}(x)^2\end{array}$

Dans le chapitre des fonctions trigonométriques, nous avons vu que $\tan(x)$ est défini comme $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ . Maintenant que nous connaissons les dérivées de $\sin(x)$ et $\cos(x)$ , nous pouvons déterminer la dérivée de $\tan(x)$ en utilisant la dérivée d'un quotient, que nous verrons plus tard.

Une autre preuve consiste à utiliser la dérivée d'un produit et la règle de la chaîne. Nous écrivons

$f(x)=\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\sin(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)}$ la dérivée d'un produit donne

$f'(x)=\cos(x)\cdot \dfrac{1}{\cos(x)} + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'$ Nous pouvons calculer la dérivée $\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'$ en écrivant $\dfrac{1}{\cos(x)}$ comme la composée de $\dfrac{1}{x}$ et de $\cos(x)$ . L'application de la règle de la chaîne donne

$\left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'= -\dfrac{1}{\cos(x)^2}\cdot (-\sin(x))=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}$ Finalement, nous obtenons:

$f'(x)=1 + \sin(x)\cdot \left(\dfrac{1}{\cos(x)}\right)'=1+\sin(x)\cdot \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)^2}=1+\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}=1+\tan(x)^2$

Il est facile de voir que les deux expressions sont les mêmes. Nous avons défini $\tan(x)$ comme

$\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ L'élévation au carré donne

$\tan(x)^2=\dfrac{\sin(x)^2}{\cos(x)^2}$ En utilisant la relation $\sin(x)^2+\cos(x)^2=1$ , nous pouvons réécrire cela

$\tan(x)^2=\dfrac{1-\cos(x)^2}{\cos(x)^2}=\dfrac{1}{\cos(x)^2}-1$ Nous ajoutons $1$ aux deux membres pour obtenir l'égalité:

$1+\tan(x)^2=\dfrac{1}{\cos(x)^2}$

Pour calculer les dérivées des fonctions trigonométriques, nous avons souvent besoin de la dérivée d'un produit et de la dérivée d'une somme. Nous pouvons également utiliser la règle de la chaîne pour trouver les dérivées des fonctions trigonométriques.

Calculez la dérivée de la fonction $2\cdot \cos \left(x\right)+3$ .

$\frac{\dd}{\dd x} \left(2\cdot \cos \left(x\right)+3\right) =$ $-2\cdot \sin \left(x\right)$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x} \left(2\cdot \cos \left(x\right)+3\right) &=&\displaystyle \frac{\dd}{\dd x} \left(2 \cdot\cos(x)\right) +\frac{\dd}{\dd x} \left(3\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une somme}}\\ &=& \displaystyle2 \cdot \frac{\dd}{\dd x} \left(\cos(x)\right) +0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'un facteur constant et dérivée d'une constante}}\\ &=& \displaystyle-2\cdot \sin \left(x\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{la dérivée de }\cos(x)\text{ est }-\sin \left(x\right)}\\ \end{array}$

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