Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden
Buigpunten
Een buigpunt is een punt waar de grafiek van een functie een soort "buiging" maakt door van soort stijging of daling te veranderen. Dit betekent dat de afgeleide van de functie overgaat van dalen naar stijgen, of andersom en dus een lokaal maximum of minimum heeft. Deze punten kunnen alleen voorkomen als de tweede afgeleide gelijk aan #0# is.
Een buigpunt van een grafiek is een punt waarin de grafiek verandert van soort stijging of daling. De grafiek kan gaan:
- van #\blue{\text{toenemend stijgend}}\ (lang\_kort\ gestreept)# naar #\green{\text{afnemend stijgend}}\ (gestreept)#
- van #\green{\text{afnemend stijgend}}\ (gestreept)# naar #\blue{\text{toenemend stijgend}}\ (lang\_kort\ gestreept)#
- van #\orange{\text{toenemend dalend}}\ (gestippeld)# naar #\purple{\text{afnemend dalend}}\ (doorgetrokken)#
- van #\purple{\text{afnemend dalend}}\ (doorgetrokken)# naar #\orange{\text{toenemend dalend}}\ (gestippeld)#
In het plaatje hiernaast is #x=2# een buigpunt.
De buigpunten kunnen we vinden met behulp van de tweede afgeleide.
Een functie #\blue{f(x)}# heeft een buigpunt in een punt #\orange{c}# als #f'(\orange{c})# een lokaal minimum of maximum is en dan geldt
\[\green{f''(\orange{c})}=0\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl} \blue{f(x)}&=&\blue{x^3}\\ f'(x)&=&3x^2\\ \green{f''(x)}&=&\green{6x}\\ \green{f''(\orange{0})}&=&0\end{array}\]
Stappenplan Het berekenen van buigpunten |
Voorbeeld |
|
Bepaal voor een functie #\blue{f(x)}# de buigpunten. |
#\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\phantom{'}\blue{x^5-x^3}\end{array}# |
|
Stap 1 |
Bereken de eerste afgeleide #f'(x)#. |
#\begin{array}{rcl}f'(x)&=&5x^4-3x^2\end{array}# |
Stap 2 |
Bereken de tweede afgeleide #\green{f''(x)}#. |
#\begin{array}{rcl}\green{f''(x)}&=&\green{20x^3-6x}\end{array}# |
Stap 3 |
Los #f''(x)=0# op om de mogelijke lokale minima en maxima van #f'(x)# te vinden en daarmee de mogelijke buigpunten van #f(x)#. |
#\begin{array}{c}{x}={0} \lor {x}={\sqrt{\tfrac{3}{10}} }\;\lor\; {x}={-\sqrt{\tfrac{3}{10}}}\end{array}# |
Stap 4 |
Bepaal of de gevonden waarden in stap 3 bij een lokaal minima of maxima horen. Zo ja, dan is het een buigpunt. |
#{x}={-\sqrt{\tfrac{3}{10}}}# lokaal minimum #f'# #{x}={0}# lokaal maximum #f'# #{x}={\sqrt{\tfrac{3}{10}}}# lokaal minimum#f'# Dus alle drie buigpunten #f(x)# |
Stap 1 | We bepalen de afgeleide van #f(x)=x^5# met behulp van de machtsregel. Deze is gelijk aan: \[f'(x)=5\cdot x^4\] |
Stap 2 | We bepalen de tweede afgeleide op dezelfde wijze als de eerste afgeleide. Deze is gelijk aan: \[f''(x)=20\cdot x^3\] |
Stap 3 | We lossen de vergelijking #20\cdot x^3=0# op. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl} 20\cdot x^3&=&0\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ x^3&=&0\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }20}\\ x&=&0\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten }3 \text{machtswortel genomen}}\end{array} \] |
Stap 4 | We tekenen de grafiek van #f'(x)=5\cdot x^4#. We zien dat #f'(x)# een lokaal minimum heeft bij #x=0#. Dus de functie #f(x)# heeft een buigpunt bij #x=0#. |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.