Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden
Hogere afgeleiden
Het berekenen van afgeleiden wordt niet beperkt tot de eerste en de tweede afgeleide.
We noteren #f^{(n)}#, waarbij #n# een geheel getal is, voor de #n#-de afgeleide van #f#.
Er geldt dus
\[\begin{array}{rcl}f^{(0)}&=&f\\f^{(1)}&=&f'\\f^{(2)}&=&f''\\\cdots\\f^{(n)}&=&f''''^{...}\end{array}\]
Waarbij de laatste uitdrukking bestaat uit #n# keer een apostrof.
We bepalen #f^{(n)}# door de functie #f# precies #n# keer te differentiëren.
Voorbeeld
\[\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^7 \\ \\ f^{(1)}(x)&=&7x^6 \\ \\f^{(2)}(x)&=&42x^5 \\ \\f^{(3)} (x)&=&210x^4\\ \\f^{(4)}(x)&=&840x^3 \\ &\vdots& \\f^{(8)}(x)&=&0 \end{array}\]
Bereken #f'(x)#, #f''(x)# en #f'''(x)# voor \[f(x)=9\cdot x^4-8\cdot x^2+4\cdot x+7\tiny.\]
#f'(x)=# #36\cdot x^3-16\cdot x+4#
#f''(x)=# #108\cdot x^2-16#
#f'''(x)=# #216\cdot x#
Eerst bepalen we #f'(x)# met behulp van de machtsregel. Dit geeft:
\[f'(x)=36\cdot x^3-16\cdot x+4\]
Vervolgens bepalen we # f''(x)# door #f'(x)# op dezelfde manier te differentiëren. Dat geeft:
\[f''(x)=108\cdot x^2-16\]
Tot slot bepalen we #f'''(x)# door opnieuw op dezelfde wijze #f''(x)# te differentiëren. Dat geeft:
\[f'''(x)=216\cdot x\]
#f''(x)=# #108\cdot x^2-16#
#f'''(x)=# #216\cdot x#
Eerst bepalen we #f'(x)# met behulp van de machtsregel. Dit geeft:
\[f'(x)=36\cdot x^3-16\cdot x+4\]
Vervolgens bepalen we # f''(x)# door #f'(x)# op dezelfde manier te differentiëren. Dat geeft:
\[f''(x)=108\cdot x^2-16\]
Tot slot bepalen we #f'''(x)# door opnieuw op dezelfde wijze #f''(x)# te differentiëren. Dat geeft:
\[f'''(x)=216\cdot x\]
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.