Raaklijnen berekenen

Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden

Raaklijnen berekenen

Voordat we de afgeleide introduceerden, zagen we dat een raaklijn een lijn is die de grafiek op een punt aanraakt, wat betekent dat de helling van de lijn gelijk is aan de helling van de grafiek in dat punt. Toen we de afgeleide introduceerden, zagen we dat de helling van een functie in een punt gelijk is aan de waarde van de afgeleide functie in dat punt.

De raaklijn $\orange l$ aan de grafiek van $\blue f$ in het punt $x=\green{p}$ is de lijn met helling $\purple{f'}(\green p)$ die door het punt $\rv{\green p, \blue f(\green p)}$ gaat.

Het bepalen van de raaklijn is hetzelfde als het bepalen van elke andere lijn. Gebruik het volgende stappenplan om de formule van een raaklijn te vinden.

Bepalen van de raaklijn

	Stappenplan	Voorbeeld
	Bepaal de raaklijn $\orange{l: y=a \cdot x+b}$ aan de grafiek van $\blue f$ in het punt $x=\green{p}$ .	$\qqquad \begin{array}{rcl}\blue{f(x)} & = & \blue{x^3-5 \cdot x^2+1} \\ x & = &\green{3}\end{array}$
Stap 1	Bereken $\blue f(\green p)$ om de $y$ -coördinaat van het punt te vinden waardoor de raaklijn gaat.	$\qqquad \begin{array}{rcl}\blue{f}(\green 3) &=& -17 \end{array}$
Stap 2	De helling $\orange a$ van de raaklijn is gelijk aan $\purple{f'}(\green{p})$ . Bepaal de afgeleide $\purple{f^{\prime}}$ en vul $x=\green p$ in in $\purple{f'}(x)$ om $\purple{f'}(\green p)$ te evalueren.	$\qqquad \begin{array}{rcl} \purple{f'(x)} &=& \purple{3 \cdot x^2-10 \cdot x} \\\purple{f'}(\green3) &=&\orange{-3} \end{array}$
Stap 3	De lijn $\orange l$ heeft formule $\orange{y=} \purple{f'}(\green{ p})\orange{\cdot x+ b}$ . Bepaal $\orange b$ door het punt $\rv{\green p, \blue f(\green p)}$ te substueren in de formule.	$\qqquad \begin{array}{rcl}-17&\orange{=}&\orange{-3 \cdot} \green{3} \orange{+b}\\ \orange{b} &\orange{=}&\orange{-8}\end{array}$
Stap 4	Vul de gevonden waarde voor $\orange b$ in in de formule van de raaklijn $\orange l$ .	$\qqquad \begin{array}{rcl}\orange {l: \ y} & \orange{=} & \orange{-3 \cdot x-8}\end{array}$

Bepaal een vergelijking voor de raaklijn aan de functie $f(x)=x^3+x+9$ in het punt $x=3$ .
Geef je antwoord in de vorm $y=\ldots$ .

$y=28\cdot x-45$

We volgen het stappenplan voor het opstellen van een raaklijn.

Stap 1	We bepalen $f(3)$ om te weten wat de $y$ -waarde is van het punt waar de raaklijn doorheen gaat. $f(3)=\left(3\right)^3+\left(3\right)+9=39$ Dus de raaklijn gaat door het punt $\rv{3, 39}$ .
Stap 2	We berekenen de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Daarvoor berekenen we eerst $f'(x)$ . De functie $f(x)=x^3+x+9$ is een veelterm. De afgeleide van een veelterm kunnen we berekenen door gebruik te maken van de somregel en de afgeleide van de machtsfunctie: $\dfrac{\dd}{\dd x} a x^n =a \cdot n x^{n-1}$ Voor de functie $f(x)$ vinden we dan als afgeleide: $f'(x)=3\cdot x^2+1$ De richtingscoëfficiënt van de raaklijn vinden we nu door $x=3$ te substitueren in de afgeleide. $f'(3)=3\cdot \left(3\right)^2+1=28$
Stap 3	We bepalen het startgetal $b$ van de vergelijking van de raaklijn. In stap 1 hebben we bepaald dat de raaklijn door het punt $\rv{3, 39}$ gaat. We substitueren dit punt in de vergelijking van de raaklijn $y=28\cdot x+b$ en lossen de verkregen vergelijking $39 = 28\cdot \left(3\right)+b$ op voor de onbekende $b$ . $39=b+84 \;\; \Leftrightarrow \;\; b=-45$
Stap 4	Het invullen van de berekende richtingscoëfficiënt en startgetal geeft als vergelijking voor de raaklijn: $y=28\cdot x-45$

In de figuur staat de functie $f(x)=x^3+x+9$ in blauw, het punt $P=\rv{3, 39}$ in groen en de raaklijn aan $f$ in het punt $P$ met vergelijking $l: y=28\cdot x-45$ in oranje.

GeoGebra

Nieuw voorbeeld