Integración: Técnicas de integración
Integrales trigonométricas
Usando el método de sustitución, también podemos resolver integrales trigonométricas.
Este video explica cómo utilizar el método de sustitución para resolver la integral trigonométrica #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x#, donde #\blue{m} # y #\orange{n} # son números enteros no negativos.
El video solo está disponible en inglés.
La voz en el vídeo está generada por IA y no es una voz humana.
A menudo usamos las siguientes identidades trigonométricas.
\[\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1 \]
\[\cos(x)^2 = \frac{\cos(2x)+1}{2}\]
\[\sin(x)^2 = \frac{1-\cos(2x)}{2}\]
#\int \cos(t)\cdot \sin(t)^6 \,\dd t=# #{{\sin(t)^7}\over{7}} + C#
Aplicamos el método de sustitución con #g(t)=t^6# y #h(t)=\sin(t)#, porque en ese caso se aplica #g(h(t)) \cdot h'(t)=\cos(t)\cdot \sin(t)^6#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(t)\cdot \sin(t)^6 \,\dd t&=& \displaystyle \int \sin(t)^6 \cdot \cos(t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \\
\text{ con } h'(t)=\cos(t)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\sin(t)^6 \right) \, \dd(\sin(t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int u^6 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\sin(t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^7}\over{7}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\sin(t)^7}\over{7}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\sin(t)}
\end{array}\]
Aplicamos el método de sustitución con #g(t)=t^6# y #h(t)=\sin(t)#, porque en ese caso se aplica #g(h(t)) \cdot h'(t)=\cos(t)\cdot \sin(t)^6#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(t)\cdot \sin(t)^6 \,\dd t&=& \displaystyle \int \sin(t)^6 \cdot \cos(t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \\
\text{ con } h'(t)=\cos(t)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\sin(t)^6 \right) \, \dd(\sin(t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int u^6 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\sin(t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^7}\over{7}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\sin(t)^7}\over{7}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\sin(t)}
\end{array}\]
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