Aire

Intégration: Intégrale définie

Aire

L'aire de la surface $\orange S$ au-dessus de l'axe des $x$ et délimitée par le graphe de $\blue{f}$ , les droites $x=a$ et $x=b$ est égale à

$\int_a^b \blue f(x) \; \dd x$

geogebra

Nous appelons la surface d'un point de départ fixe jusqu'à $x$ en dessous $\blue f$ et au-dessus de l'axe des $x$ , $\orange A(x)$ (voir la figure à droite).

Nous allons d'abord démontrer que $\orange A(x)$ est une primitive de $\blue f$ . Pour le prouver, nous montrons que $A'(x)=\blue{f}(x)$ .

À partir de la définition de la dérivée:

$A'(x)=\frac{\orange A(x+h)-\orange A(x)}{h} \text{ avec } h \to 0$

ggb 1

La surface de $\orange A(x+h)-\orange A(x)$ peut être vue dans la figure à droite. Pour les petites valeurs de $h$ la partie violette peut être approchée par un rectangle de côtés $h$ et $\blue f(x)$ . Cela veut dire

$\orange A(x+h)-\orange A(x) \approx \blue f(x) \cdot h$

En divisant les deux membres par $h$ , nous obtenons

$\blue f(x) \approx \frac{\orange A(x+h)-\orange A(x)}{h}$

En laissant tendre $h \to 0$ , nous voyons en effet que $\blue f(x)=A'(x)$

Ainsi, nous avons prouvé que $\orange A(x)$ est une primitive de $\blue f$ .

ggb 2

Enfin, nous voyons dans la figure à droite, la situation dans laquelle nous voulons connaître la surface de $a$ à $b$ en dessous $\blue f$ . Nous pouvons voir que cette surface est égale à $\orange A(b)-\orange A(a)$ .

Comme $\orange A(x)$ est une primitive de $\blue f(x)$ , en utilisant la définition de l'intégrale définie, la surface de $a$ à $b$ en dessous $f$ est égale à: $\orange A(b)-\orange A(a)=\int_a^b \blue f(x) \; \dd x$

ggb 3

Application en physique

Comme la dérivation, l'intégration a beaucoup d'applications dans la vie réelle. Par exemple, nous pouvons l'utiliser pour calculer une distance parcourue. Supposons qu'un avion décolle et que pour les premières $20$ secondes il atteint une vitesse de $v(t)=\frac{1}{2}t^2$ , alors l'aire de la surface délimitée par $v(t)$ et les droites $t=0$ et $t=20$ est égale à la distance parcourue.

$\int_{0}^{20}v(t)\, \dd t=\int_{0}^{20}\frac{1}{2}t^2\, \dd t =\left[\frac{1}{6}t^3\right]_{0}^{20}=\frac{4000}{3}$

Ainsi, l'avion a parcouru une distance d'environ $1330$ mètres au cours des premières $20$ secondes.

Nous avons vu comment calculer une surface au-dessus de l'axe des $x$ . De la même manière nous pouvons calculer une surface en dessous de l'axe des $x$ .

L'aire de la surface $\orange S$ qui se trouve en dessous de l'axe des $x$ et délimitée par le graphe de $\blue{f}$ , les droites $x=a$ et $x=b$ est égale à:

$-\int_a^b \blue f(x) \; \dd x$

geogebra

De même comme pour une surface au-dessus de l'axe des $x$ , nous pouvons démontrer que $\int_a^b \blue f(x) \; \dd x$ est égale à $-(\text{aire})$ .

Finalement, nous présentons une procédure pour calculer la surface délimitée par le graphe de $\blue f$ , l'axe des $x$ et les droites $x=a$ et $x=b$ . Ici, la surface peut être en partie au-dessus et en partie en dessous du graphe.

	Procédure	Exemple
	Déterminez l'aire d'une surface délimitée par le graphe $\blue f$ , l'axe des $x$ et les droites $x=a$ et $x=b$ .	La surface délimitée par $\blue f(x)=-(x-3)^2+4$ , l'axe des $x$ et $x=0$ et $x=6$
Étape 1	Déterminez les points d'intersection avec l'axe des $x$ du graphe de $\blue f$ entre $x=a$ et $x=b$ . Nous appellerons ces racines $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ s'il y a $n$ racines.	$x_1=1$ , $x_2=5$
Étape 2	Pour chaque intervalle $\ivco{a}{x_1}$ , $\ivoo{x_1}{x_2}$ , $\ldots$ , $\ivoc{x_n}{ b}$ déterminez si les ordonnées $y$ de $f$ sont positives ou négatives.	$f(x)\begin{cases}\lt0&\text{si } x \in \ivco{0}{1}\\ \gt0&\text{si } x \in \ivoo{1}{5} \\ \lt 0 &\text{si } x \in \ivoc{5}{6}\end{cases}$
Étape 3	L'aire de la surface est égale à: $\pm \int_a^{x_1} \blue f (x)\; \dd x \pm \int_{x_1}^{x_2} \blue f (x)\; \dd x \pm \ldots \pm \int_{x_n}^{b} \blue f(x) \; \dd x$ Ici, nous avons un signe plus devant l'intégrale si $f$ est positive sur cet intervalle et un signe moins si $f$ est négative.	$\begin{array}{c}-\int_{0}^{1} (x-3)^2+4 \; \dd x \\ + \int_{1}^{5} (x-3)^2+4 \; \dd x \\ - \int_{5}^6 (x-3)^2+4 \; \dd x\end{array}$
Étape 4	Calculez les intégrales définies et déterminez l'aire.	$\frac{46}{3}$

Graphiquement

Dans la figure ci-dessous, l'aire de la surface orange est l'aire que nous venons de calculer dans l'exemple ci-dessus.

plaatje stappenplan

La figure ci-dessous montre le graphe de la fonction $f(x)=x^2+x-12$ tracé pour $x\in\ivcc{-4}{8}$ . La surface délimitée par la fonction $f$ et l'axe des $x$ est coloriée en gris.

Calculez l'aire de la surface.
Donnez votre réponse sous la forme d'une fraction irréductible.

$\frac{559}{3}$

Étape 1	La seule racine de $f(x)=x^2+x-12$ entre $x=-4$ et $x=8$ est $x_1=3$ . L'autre racine du polynôme est $x=-4$ , mais cela n'a pas d'importance pour le calcul.
Étape 2	$f(x)$ est négative sur $[-4,3)$ et positive sur $[3,8)$ .
Étape 3	L'aire de la surface est égale à $-\int_{-4}^{3} f(x) \, \dd x+ \int_{3}^{8}f(x) \, \dd x$
Étape 4	Nous calculons les intégrales définies. $\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-4}^{3} x^2+x-12 \, \dd x &=&\displaystyle\left[{{x^3}\over{3}}+{{x^2}\over{2}}-12\cdot x\right]_{-4}^{3}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition}}\\ &=&\displaystyle -{{45}\over{2}} - {{104}\over{3}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution des bornes et simplification}}\\ &=&\displaystyle -{{343}\over{6}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}} \end{array}$ $\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{3}^{8} x^2+x-12 \, \dd x &=&\displaystyle\left[{{x^3}\over{3}}+{{x^2}\over{2}}-12\cdot x\right]_{3}^{8}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition}}\\ &=&\displaystyle {{320}\over{3}} +{{45}\over{2}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution des bornes et simplification}}\\ &=&\displaystyle {{775}\over{6}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}} \end{array}$ Nous obtenons: $\begin{array}{rcl}\displaystyle -\int_{-4}^{3} f(x) \, \dd x+ \int_{3}^{8}f(x) \, \dd x&=&\displaystyle -(-{{343}\over{6}})+{{775}\over{6}}\\&=&\displaystyle \frac{559}{3} \end{array}$

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