Primitive d'une fonction puissance

Intégration: Primitives

Primitive d'une fonction puissance

Comme pour la dérivation, nous utilisons des règles pour déterminer les primitives de fonctions lors de l'intégration. Nous allons d'abord regarder la primitive d'une fonction puissance.

Pour #\orange n\neq -1# :

\[\int x^\orange {n}\;\dd x = \frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C \]

Exemple

# \begin{array}{rcl}
\displaystyle \int x^\orange 4 \;\dd x &=&\dfrac{1}{\orange 4+1}x^{\orange 4+1} + \green C \\
&=&\dfrac 15 x^5 + \green C
\end {array} #

Nous pouvons le prouver en montrant que la dérivée de #\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C# correspond à #x^\orange {n}#.

\[\begin{array}{rcl}\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C\right)&=& \frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1}\right)+\frac{\dd}{\dd x} \green C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une somme}} \\ &=&\frac{1}{\orange n+1} \frac{\dd}{\dd x}x^{\orange n+1} +0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'un facteur constant et d'une constante }0} \\ &=& \frac{1}{\orange n+1} \cdot \left(\orange n+1\right) \cdot x^{\orange n +1-1} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une puissance }\frac{\dd}{\dd x}x^n=n \cdot x^{n-1}} \\ &=& x^{\orange n}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\end{array}\]

Racine carrée

Nous pouvons également déterminer la primitive d'une racine carrée en utilisant cette règle.

\[\int \sqrt{x} \;\dd x = \int x^\orange{\frac{1}{2}} \; \dd x = \frac{1}{\orange{\frac{1}{2}}+1}x^{\orange{\frac{1}{2}}+1} +\green C= \frac{2}{3}x \sqrt{x}+\green C\]

Déterminez une primitive #F# de la fonction #f(x)=x^3#.

#F(x)=# #{{x^4}\over{4}}#

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int x^3 \; \dd x
&=&\displaystyle \frac{1}{3+1} x^{3+1}+C \\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{règle de calcul } \int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\
&=&\displaystyle {{x^4}\over{4}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}
\end{array}#

Comme une primitive est demandée, nous pouvons choisir #C=0#. Donc:
\[F(x)={{x^4}\over{4}}\]

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