Kwadratische ongelijkheden

Kwadratische formules en vergelijkingen: Kwadratische ongelijkheden

Kwadratische ongelijkheden

Net als bij lineaire ongelijkheden kunnen we bij kwadratische formules een ongelijkheid maken. We zullen nu eerst een voorbeeld bekijken hoe we een kwadratische ongelijkheid oplossen.

We lossen de ongelijkheid $\blue{2x^2+4x+3} \gt \green{-x^2-2x+6}$ op.

Stap 1

We lossen eerst de gelijkheid $\blue{2x^2+4x+3} = \green{-x^2-2x+6}$ op. Daarvoor herleiden we de gelijkheid eerst op $0$ .

$\begin{array}{rcl}2x^2+4x+3&=&-x^2-2x+6 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}}\\ 3x^2+6x-3 &=&0 \\ &&\phantom{xx}\blue{\text{herleid op }0} \end{array}$

Nu passen we de abc-formule toe. Daarvoor bepalen we de letters $a$ , $b$ en $c$ .

$a=3, b=6 \text{ en } c=-3$

Dan berekenen we de discriminant.

$D=6^2-4 \cdot 3 \cdot -3 =72$

Dan bepalen we de oplossingen.

$x=\frac{-6-\sqrt{72}}{2\cdot 3} \lor x=\frac{-6+\sqrt{72}}{2\cdot 3}$

Dat vereenvoudigen we tot:

$x=-1- \sqrt{2} \lor x=-1+ \sqrt{2}$

Stap 2

We maken de grafiek van $y=\blue{2x^2+4x+3}$ en $y=\green{-x^2-2x+6}\ (gestreept)$ . De snijpunten hebben we oranje gekleurd.

Stap 3

Aan de hand van stap 1 en 2 bepalen we de oplossing.

De grafiek $y=\blue{2x^2+4x+3}$ ligt boven $y=\green{-x^2-2x+6}$ links van $x=-1-\sqrt{2}$ en rechts van $x=-1+\sqrt{2}$ .

De oplossing is dus $x \lt -1-\sqrt{2} \lor x \gt -1+\sqrt{2}$ .

In het algemeen kunnen we het volgende stappenplan toepassen.

Een kwadratische ongelijkheid oplossen

	Stappenplan
	We lossen de ongelijkheid $\blue{a_1 x^2+b_1x+c_1} \gt \green{a_2x^2+b_2x+c_2}\ (gestreept)$ op, waarbij $a_1 \ne 0$ .
Stap 1	We lossen eerst de gelijkheid op $\blue{a_1 x^2+b_1x+c_1} = \green{a_2x^2+b_2x+c_2}$
Stap 2	We schetsen de grafieken $y=\blue{a_1 x^2+b_1x+c_1}$ en $y=\green{a_2x^2+b_2x+c_2}$ .
Stap 3	Bepaal met behulp van stap 1 en 2 voor welke waarden van $x$ de ongelijkheid geldt. In een assenstelsel is de grootste grafiek degene die boven ligt.

Merk op dat dit stappenplan ook voor de ongelijkheidstekens $\geq$ geldt, alleen nu horen de $x$ -waarden van de snijpunten ook bij de oplossing.

Alle of geen

Als er in stap 1 geen snijpunten gevonden worden, dan zijn er twee opties voor de oplossing van de ongelijkheid.

1) alle punten van $x$ zijn een oplossing van de ongelijkheid. De ongelijkheid is altijd waar.

2) geen punten van $x$ zijn een oplossing van de ongelijkheid. De ongelijkheid is nooit waar.

Ditzelfde kan ook als in stap 1 wel een snijpunt gevonden wordt, maar dit een raakpunt is. Dan zijn ze alleen in dat punt gelijk en in alle andere punten geldt de ongelijkheid wel of niet.

Voorbeeld

De kwadratische formules $y=\blue{x^2+5x+3}$ en $y=\green{-x^2-5x-\frac{19}{2}}$ .

Het snijpunt van de twee formules is $\rv{-\frac{5}{2}, -\frac{7}{2}}$ .

De ongelijkheid $\blue{x^2+5x+3} \geq \green{-x^2-5x-\frac{19}{2}}$ is dan voor alle punten van $x$ waar.

De ongelijkheid $\blue{x^2+5x+3} \lt \green{-x^2-5x-\frac{19}{2}}$ is voor geen enkel punt van $x$ waar.

Los $t$ op in de ongelijkheid

$-3\cdot t^2-6\cdot t+1 \lt -t^2-4\cdot t\tiny$
Geef je antwoord in de vorm

$t \gt t_1\land t \lt t_2$ of $t\lt t_1 \lor t \gt t_2$ ;
$t \lt t_1$ of $t \gt t_1$ ;
$geen$ of $alle$ ,

waarbij $t_1$ en $t_2$ getallen zijn.

$t\lt {{-\sqrt{3}-1}\over{2}}\lor t\gt {{\sqrt{3}-1}\over{2}}$

Stap 1	We lossen de gelijkheid $-3\cdot t^2-6\cdot t+1=-t^2-4\cdot t$ op. Dat gaat als volgt: $\begin{array}{rcl} -3\cdot t^2-6\cdot t+1 &=& -t^2-4\cdot t\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke gelijkheid}}\\ -2\cdot t^2-2\cdot t+1&=&0\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{alle ter‍‍men naar links gebracht}}\\ \text{discr‍iminant } &=& b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule discrim‍inant}}\\ &=& \left(-2\right)^2 - 4 \cdot \left(-2\right) \cdot 1 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& 12\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\\ \text{aantal oplossingen } &=& 2\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{want discri‍minant groter dan }0}\\ t=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2 \cdot a} &\lor& t=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2 \cdot a} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule oplossingen}}\\ t=\dfrac{-\left(-2\right) - \sqrt{12}}{2 \cdot \left(-2\right)} &\lor& t=\dfrac{-\left(-2\right) + \sqrt{12}}{2 \cdot \left(-2\right)} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld }}\\ \displaystyle t= {{\sqrt{3}-1}\over{2}} &\lor& \displaystyle t = {{-\sqrt{3}-1}\over{2}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\\ \end{array}$
Stap 2	We schetsen de grafieken $y=-3\cdot t^2-6\cdot t+1$ (blauw doorgetrokken) en $y=-t^2-4\cdot t$ (groen gestreept).
Stap 3	We lezen nu de oplossing van de ongelijkheid af. $t\lt {{-\sqrt{3}-1}\over{2}}\lor t\gt {{\sqrt{3}-1}\over{2}}$

Nieuw voorbeeld