Systèmes d'équations: Équation cartésienne d'une droite
Solution d'une équation linéaire à deux inconnues
Nous venons juste de voir qu'une solution d'une équation linéaire à deux inconnues de la forme #\blue p \cdot x + \green q\cdot y +\purple r=0# est un point #\rv{x,y}#. En général, il existe de multiples solutions d'une équation linéaire, nous allons maintenant voir à quoi ces solutions ressemblent. Pour cela, nous utiliserons les mêmes règles de résolution que pour une équation linéaire à une inconnue.
Nous résolvons l'équation #\blue 3 \cdot x + \green 5 \cdot y +\purple 5=0# de la manière suivante:
\[\begin{array}{rcl}3 \cdot x + 5 \cdot y +5&=&0\\&& \blue{\small\text{équation donnée}}\\
5 \cdot y+5&=&-3 \cdot x\\ && \blue{\small\text{soustraction de }3 \cdot x}\\5\cdot y &=& -3 \cdot x -5 \\ && \blue{\small\text{soustraction de }5}\\ y &=& -\frac{3}{5}x-1\\ && \blue{\small\text{division par }5}\end{array}\]
Tous les points appartenant à la droite #{y}=-\tfrac{3}{5} {x}-1# sont des solutions de l'équation.
Nous résolvons l'équation #\green 5 \cdot {y}+\purple 5=0# de la manière suivante:
\[\begin{array}{rcl}
5y + 5 &=& 0 \\
&&\blue{\small\text{équation donnée}} \\
5y &=& -5 \\
&&\blue{\small \text{soustraction de \(5\) à gauche et à droite}} \\
y &=& -1 \\
&&\blue{\small \text{division à gauche et à droite par \(5\)}} \\
\end{array}\]
Tous les points appartenant à la droite horizontale #{y}=-1# sont des solutions de l'équation.
Nous résolvons l'équation #\green 3 \cdot {x}+\purple 5=0# de la manière suivante:
\[\begin{array}{rcl}
3x + 5 &=& 0 \\
&&\blue{\small\text{équation donnée}} \\
3x &=& -5 \\
&&\blue{\small \text{soustraction de \(5\) à gauche et à droite}} \\
x &=& -\frac{5}{3} \\
&&\blue{\small \text{division à gauche et à droite par \(3\)}} \\
\end{array}\]
Tous les points appartenant à la droite verticale #{x}=-\tfrac53# sont des solutions de l'équation.
L'équation contient deux variables #x# et #y#. Ainsi, la solution est une droite oblique de la forme #y=a \cdot x +b#. Nous trouvons la solution de la manière suivante:
\[\begin{array}{rcl}
x+2\cdot y+4&=&0\\&& \phantom{xxx}\blue{\text{équation donnée}}\\
x+2\cdot y&=&-4 \\ && \phantom{xxx}\blue{\text{addition de }-4\text{ à gauche et à droite}}\\
2\cdot y&=&-x-4 \\&& \phantom{xxx}\blue{\text{soustraction de }x\text{ à gauche et à droite }}\\
y&=&\displaystyle -{{x}\over{2}}-2\\&& \phantom{xxx}\blue{\text{division à gauche et à droite par le coefficient de }y}
\end{array}\]
Ainsi, la solution de #x+2\cdot y=-4# est la droite oblique #y=-{{x}\over{2}}-2#.
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