Groeipercentages en samengestelde rente

Toepassingen: Exponentiële functies en logaritmen: Toepassingen: Exponentiële functies en logaritmen

Groeipercentages en samengestelde rente

Exponentiële functies spelen een belangrijke rol in veel economische toepassingen van wiskunde. We hebben al gekeken naar de exponentiële functie $f(x)=a^x$ . Nu gaan we de exponentiële groeifunctie onderzoeken, wat een exponentiële functie vermenigvuldigd met een constante $c$ is. Dit betekent dat de waarde van $c$ verandert met hetzelfde percentage na elk vast tijdsinterval. Een voorbeeld van een exponentiële groei is de rente op een spaarrekening.

Exponentiële groeifunctie

Een exponentiële groeifunctie heeft het functievoorschrift $f(x) = \green{c} \cdot \ \blue{g}^x$

Hier,

$\green{c}$ is de startwaarde, de functiewaarde bij $x=0$ ,
$\blue{g}$ is de groeifactor of het grondtal,
$x$ is het argument van de exponent

Een groei die kan worden beschreven door een exponentiële groeifunctie, wordt ook wel een exponentieel groeimodel of simpelweg exponentiële groei genoemd.

GeoGebra

De exponentiële groeifunctie is alleen gedefinieerd voor $\blue{g} \gt 0$ .

Dit heeft invloed op het bereik van de exponentiële groeifunctie:

Als $\green{c} \gt 0$ , dan $f(x) \gt 0$ voor alle $x$
Als $\green{c} \lt 0$ , dan $f(x) \lt 0$ voor alle $x$

Hierin is $y=0$ een horizontale asymptoot als $\blue{g} \neq 1$ . Dit betekent dat de functie nooit de waarde $0$ aanneemt, terwijl de functiewaarden er willekeurig dicht bij komen. De functiewaarde nadert $0$ naarmate $x$ verder van $0$ beweegt in de negatieve richting in het geval $\blue{g}\gt 1$ , en in de positieve richting in het geval $0< \blue{g}\lt 1$ .

Als $\green{c} = 0$ , dan is $f(x)$ de constante functie $0$ . dat wil zeggen: $f(x) = 0$ voor alle $x$ .

De groeifactor in dit exponentiële groeimodel geeft aan hoe snel de functie toeneemt of afneemt. We zullen nu de verbinding tussen de groeifactor en de groeisnelheid onderzoeken.

Groeisnelheid

De groeisnelheid van exponentiële groei met functievoorschrift $f(x) = \green{c} \cdot \blue{g}^x$ is gelijk aan $\blue{g}-1$ .

Als we de groeisnelheid met $100$ vermenigvuldigen, krijgen we de vaste procentuele toename of afname van het exponentiële groeimodel.

De groeisnelheid wordt ook wel groeivoet genoemd.

Voorbeeld

Groeifactor: $\blue{1.2}$

Groeisnelheid: $0.2$

Procentuele toename: $20\%$

De groeisnelheid is de relatieve groei van het exponentiële groeimodel over een interval van lengte $1$ .

Zoals we hebben gezien in de definitie van de exponentiële functie, hangt het af van de grootte van $\blue{g}$ of er een toename of afname is.

Als $\blue{g} \gt 1$ , dan neemt $f(x)$ toe.
Als $0 \lt \blue{g} \lt 1$ , dan neemt $f(x)$ af.

We willen vaak twee exponentiële groeiprocessen met verschillende periodes met elkaar vergelijken. Bijvoorbeeld, twee spaarrekeningen waar de eerste spaarrekening een maandelijkse rente heeft en de tweede spaarrekening een jaarlijkse rente heeft. De volgende stelling geeft ons een formule om de groeifactor in één tijdsperiode om te zetten naar de groeifactor in een andere tijdsperiode.

Conversie formule voor groeifactoren

Stel dat de groeifactor per periode $\orange{t_1}$ gelijk is aan $\blue{g}_1$ en de groeifactor per periode $\purple{t_2}$ gelijk is aan $\blue{g}_2$ .
Hierbij worden $\orange{t_1}$ en $\purple{t_2}$ uitgedrukt in dezelfde tijdseenheden.
Dan geldt $\blue{g}_2 = \blue{g}_1^{\frac{\purple{t_2}}{\orange{t_1}}}$

Voorbeeld

Als $\blue{g}_1 = 1.005$ per $\orange{t_1} = \orange{\text{maand}}$

dan

$\blue{g}_2 = 1.005^{\frac{\purple{12}}{\orange{1}}} \approx 1.062$ per $\purple{t_2} = \purple{\text{jaar}}$

Converteren van rentes
Om de rente van een tijdseenheid naar de ander om te zetten, transformeren we eerst de rente naar een groeifactor. Vervolgens passen we de groeifactor aan naar de nieuwe tijdseenheid. Ten slotte zetten we deze nieuwe groeifactor weer om in een rente. Deze procedure wordt geïllustreerd door het volgende diagram:

De transformatie van het groeipercentage van een periode met lengte $\orange{t_1}$ naar een periode met lengte $\purple{t_2}$ wordt door de onderstaande formule uitgedrukt, waarbij $p_1$ en $p_2$ respectievelijk de groeipercentages zijn voor $\orange{t_1}$ en $\purple{t_2}$ voorstellen.

$p_2 = 100\cdot \left( \left(\dfrac{p_1}{100}+1\right)^{\frac{\purple{t_2}}{\orange{t_1}}}-1\right)$

Deze formule is afgeleid van de conversieformule voor groeifactoren met behulp van de vergelijkingen $\blue{g}_k = \frac{p_k}{100}+1$ voor $k=1$ en $k=2$ .

Een speciaal geval van de exponentiële groeifunctie is de formule voor de toekomstige waarde, of eindwaarde, zonder extra storting. Deze formule wordt gebruikt wanneer iemand een startkapitaal $S_0$ stort op een bank gedurende een aantal $n$ perioden (bijvoorbeeld jaren) waarbij samengestelde rente wordt opgebouwd tegen een bepaald tarief per periode. De formule geeft de toekomstige waarde na de duur $n$ als er in de tussentijd geen extra geld wordt gestort (of opgenomen). We beschrijven deze resultaten in termen van de groeivoet. De groeivoet wordt bepaald door de rentevoet.

Formule voor toekomstige waarde zonder extra storting

De toekomstige waarde $S(n)$ in een scenario met samengestelde rente kan worden berekend met het functievoorschrift

$S(n)=\green{S_0}\cdot\left(\blue{1+i}\right)^n$

Hier is,

$\green{S_0}$ het beginkapitaal,
$n$ het aantal perioden,
$i$ de groeisnelheid per periode.

Voorbeeld

Na $5$ jaar is een startkapitaal van $\euro \, \green{5000}$ euro met een rente van $2\%$ gelijk aan
$\begin{array}{rcl}S(5)&=&\green{5000} \cdot \left(\blue{1+\frac{2}{100}}\right)^5\\ \\&\approx& \euro \, 5520.40\end{array}$

Omdat het kapitaal elke periode met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd, hebben we te maken met exponentiële groei . Daarom representeert de formule voor $S(n)$ de groei voor het model met groeifactor $\blue{1+i}$ en beginwaarde $\green{S_0}$ .

Als het percentage $p\%$ is, dan is de groeisnelheid $i=\frac{p}{100}$ . De groeifactor (de factor waarmee het kapitaal aan het begin van de periode moet worden vermenigvuldigd om het kapitaal aan het einde van die periode te verkrijgen) is $\blue{1+i}=\blue{1+\frac{p}{100}}$ .

Met deze formule kunnen we niet alleen de toekomstige waarde berekenen, maar ook het startkapitaal, de periode $n$ of de groeivoet/rentevoet bepalen met behulp van reductie.

Namen en notatie

Namen en notaties kunnen verschillen in verschillende bronnen. We vatten nu enkele notaties en namen samen die je kunt tegenkomen.

De groeisnelheid wordt ook wel groeipercentage of rentepercentage genoemd.

In de financiële wiskunde wordt de factor $\left(\blue{1+i}\right)^n$ vaak genoteerd met $S_{\left.n\right \rceil i}$ .

De toekomstige waarde ${S(n)}$ wordt afgekort als $FV$ (van het Engelse Future Value).

Het beginkapitaal $\green{S_0}$ wordt ook wel de huidige waarde of startwaarde genoemd. De huidige waarde wordt afgekort als $PV$ (van het Engelse Present Value).