Simplification de fractions

Algèbre: Fractions

Simplification de fractions

Fractions équivalentes

Nous obtenons une fraction équivalente si le #\orange{\text{numérateur}}# et le #\blue{\text{dénominateur}}# :	Exemples
1. sont multipliés par un même nombre	\[\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{3x+1}}{\blue{x+2}} &=& \dfrac{\orange{6x+2}}{\blue{2x+4}} \end{array}\]
2. sont multipliés par une même variable	\[\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} &=& \dfrac{\orange{x \cdot z}}{\blue{y \cdot z}} \end{array}\]
3. sont divisés par un même nombre	\[\begin{array}{rcll} \dfrac{\orange{4x+2}}{\blue{2x+2}} &=& \dfrac{\orange{2x+1}}{\blue{x+1}}\end{array}\]
4. sont divisés par une même variable	\[\begin{array}{rcll}\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}} \end{array}\]

Simplification de fractions

Le processus de rendre le numérateur et le dénominateur d'une fraction plus petits est appelé simplification.

Exemple

\[\dfrac{\orange{x}}{\blue{x^2+x}} = \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+1}} \]

Factorisation

La factorisation peut être utilisée pour trouver des facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Ces facteurs peuvent être éliminés à l'aide d'une division, c'est-à-dire en simplifiant la fraction.

Exemples

\begin{array}{rcl}\dfrac{\orange{x+2}}{\blue{x^2+5 \cdot x +6}} &=& \dfrac{\orange{x+2}}{\blue{(x+2) \cdot (x+3)}} \\ &=& \dfrac{\orange{1}}{\blue{x+3}} \end{array}

AvancéeReprenons l'exemple:

\[\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}} = \dfrac{{1}}{\blue{x}+1} \]

Si nous substituons #\blue x=\green 0# dans l'expression de gauche, nous allons diviser par zéro, ce qui est interdit. Si nous substituons #\blue x=\green 0# dans l'expression de droite, nous obtenons #1#. Ainsi, l'égalité n'est pas vraie pour #\blue x=\green 0#.

En général, les égalités restent seulement vraies en simplifiant par des nombres pour lesquels la fraction initiale a été définie. Pour être rigoureux, nous pouvons préciser ces nombres, mais généralement nous ne le faisons pas.

Calculez #\dfrac{\blue{x}}{\blue{x}^2+\blue{x}}# pour #\blue{x}=\green{0}# :

\[\dfrac{\green{0}}{\green 0^2+\green 0} = \dfrac{0}{0}\]

Calculez #\dfrac{{1}}{\blue{x}+1}# pour #\blue{x}=\green{0}# :

\[\dfrac{1}{\green 0+1} = \dfrac{1}{1}\]

Simplifiez autant que possible (ne pas développer les parenthèses):
\[\dfrac{-5\cdot a^4\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^3}{a^5\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^2}\]

#-{{5\cdot \left(c+1\right)}\over{a}}#

#\begin{array}{rcl}
\dfrac{-5\cdot a^4\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^3}{a^5\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^2}
&=& \displaystyle -{{5\cdot \left(c+1\right)}\over{a}}
\\ && \phantom{xxx}\blue{\text{simplification par } a^4\cdot b^2\cdot \left(c+1\right)^2 \text{ }}
\end{array}#

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