Ontbinden in factoren

Algebra: Factoren buiten haakjes halen

Ontbinden in factoren

We hebben gezien hoe we een uitdrukking kunnen ontbinden in factoren met enkele haakjes. Nu zullen we kijken hoe we een uitdrukking kunnen herschrijven met dubbele haakjes.

Product-som-methode

Bij de product-som-methode proberen we de uitdrukking $x^2+\blue{b}\cdot x+\green{c}$ te schrijven als $\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)$ .

Dit kan door twee getallen $\purple{m}$ en $\purple{n}$ te zoeken, zodanig dat

$\purple{m}+\purple{n}=\blue{b} \text{ en } \purple{m} \cdot \purple{n}=\green{c}$

Voorbeeld

$\begin{array}{c}x^2+\blue{4}\cdot x+\green{3} = (x+\purple{3}) \cdot (x+\purple{1})\\ \phantom{x} \\ {\text{want }\;\;\purple3+\purple1=\blue4 \;\;\text{ en }\;\;\purple3 \cdot \purple1 =\green3}\end{array}$

Meer voorbeelden

Meer voorbeelden

$\begin{array}{rcl} x^2+\blue5 \cdot x+\green6&=&(x+\purple{2}) \cdot (x+\purple{3}) \\&& \phantom{x}{\text{want }\purple2+\purple3=\blue5 \text{ en }\purple2 \cdot \purple3 =\green6}\\ \\x^2\blue{-4} \cdot x+\green4&=&(x\purple{-2}) \cdot (x \purple{-2})\\ && \phantom{x}{\text{want }\purple{-2}+\purple{-2}=\blue{-4} \text{ en }\purple{-2} \cdot \purple{-2} =\green{4}}\end{array}$

Beperkt mogelijk

Ontbinden in factoren van een uitdrukking $x^2+\blue{b} \cdot x +\green{c}$ is lang niet altijd mogelijk. In de praktijk zoeken we namelijk alleen naar een ontbinding met gehele getallen voor $\purple{m}$ en $\purple{n}$ .

Bewijs

Eerder zagen we de bananenformule:

$\begin{array}{rcl}\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)&=&x \cdot x + x \cdot \purple{n} + \purple{m} \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n} \\ &=&x^2+\left(\purple{m}+\purple{n}\right) \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n}\end{array}$

Wanneer we dit van rechts naar links lezen, dus:

$x^2+\left(\purple{m}+\purple{n}\right) \cdot x + \purple{m}\cdot \purple{n}=\left(x+\purple{m}\right) \cdot \left(x+\purple{n}\right)$ herkennen we de product-som-methode.

Daarmee is de product-som-methode een logisch gevolg uit de bananenformule.

In het voorbeeld hieronder wordt uitgelegd hoe we goede getallen voor de ontbinding van $x^2+b \cdot x +c$ kunnen vinden.

Ontbind de uitdrukking $x^2+17\cdot x+72$ in factoren.

$x^2+17\cdot x+72=$ $(x+8)\cdot(x+9)$

We zoeken getallen $\purple{m}$ en $\purple{n}$ , zodat de kwadratische veelterm $x^2+17\cdot x+72$ te schrijven is als $(x+\purple{m})\cdot(x+\purple{n})$ . Hierbij merken we op dat $\purple{m}$ en $\purple{n}$ te verwisselen zijn. We werken de haakjes weg en vergelijken het resultaat met de oorspronkelijke uitdrukking:

$x^2+(\purple{m}+\purple{n})\cdot x+\purple{m}\cdot \purple{n} = x^2+17\cdot x+72\tiny$
Vergelijking met $x^2+17\cdot x+72$ geeft

$\lineqs{\purple{m}+\purple{n} &=& 17\cr \purple{m}\cdot \purple{n} &=& 72}$ Als $\purple{m}$ en $\purple{n}$ gehele getallen zijn, dan zijn ze dus delers van $72$ . We doorlopen alle mogelijke delers $\purple{m}$ met $\purple{m}^2\le 72$ (omdat we dan alle mogelijkheden hebben, omdat $\purple{m}$ en $\purple{n}$ van rol mogen wisselen) en berekenen, in elk van de gevallen, de som van $\purple{m}$ en $\purple{n}=\frac{72}{\purple{m}}$ :

$\begin{array}{|r|c|l|} \hline \purple{m}&\purple{n}&\purple{m}+\purple{n}\\ \hline 1&72&73\\ \hline -1&-72&-73\\ \hline 2&36&38\\ \hline -2&-36&-38\\ \hline 3&24&27\\ \hline -3&-24&-27\\ \hline 4&18&22\\ \hline -4&-18&-22\\ \hline 6&12&18\\ \hline -6&-12&-18\\ \hline 8&9&17\\ \hline -8&-9&-17 \\ \hline \end{array}$
De regel van de tabel met $\purple{m}=8$ en $\purple{n}=9$ is de enige met som $17$ , dus dit is het antwoord:

$x^2+17\cdot x+72=(x+8)\cdot(x+9)\tiny.$

Nieuw voorbeeld

In de onderstaande voorbeelden wordt duidelijk dat er ook andere situaties zijn waarin we kunnen ontbinden in factoren. Daarnaast zien we dat we soms het buiten haakjes halen van factoren kunnen combineren met het ontbinden in dubbele haakjes.

Ontbind de volgende uitdrukking in zo veel mogelijk factoren:

$x^2+6\cdot x+9$

Neem, indien van toepassing, dezelfde factoren samen en schrijf deze met een macht.

$\left(x+3\right)^2$

Aangezien het product van $3$ en $3$ gelijk is aan $9$ en de som aan $6$ geldt:

$x^2+6\cdot x+9= \left(x+3\right)^2$

Nieuw voorbeeld