Variabele vrijmaken

Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen

Variabele vrijmaken

Door de kennis die we opgedaan hebben bij het omschrijven van logaritmen, kunnen we een exponentiële functie omschrijven naar een functie van de vorm $x=\ldots$ . Dit wordt ook wel het vrijmaken van $x$ genoemd.

De functie $y=5\cdot 4^{x-1}$ kunnen we omschrijven naar een vergelijking van de vorm $x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)$ .

$\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{beide kanten gedeeld door }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ geeft }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{beide kanten }1\text{ bij optellen}}\end{array}$

Inverse

Het vrijmaken van de variabele $x$ uit een functie, is eigenlijk hetzelfde als het bepalen van de inverse van de functie $f(x)$ . In de vragen zullen we dus ook de vraagstelling 'geef de inverse functie $f^{-1}(x)$ ' gebruiken, dit is uiteindelijk dus precies hetzelfde als de vraag 'maak $x$ vrij uit de functie $f(x)$ '. In het voorbeeld hierboven gebruiken we de $y$ -notatie in plaats van de notatie $f(x)$ . De inverse functie zou hier dan uiteindelijk zijn

$f^{-1}(x)=\log_4\left(\dfrac{x}{5}\right)+1$ .

We kunnen $x$ ook vrijmaken bij moeilijkere functies, zoals de volgende voorbeelden.

Maak de variabele $x$ vrij uit de volgende vergelijking.

$y=40+8^{0.1\cdot x+9}$

$x=$ $\frac{\log_{8}\left(y-40\right)-9}{0.1}$

$\begin{array}{rcl} y&=&40+8^{0.1\cdot x+9}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\ 8^{0.1\cdot x+9}&=&y-40\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{omgedraaid en constante term naar rechts gehaald}}\\ 0.1\cdot x+9&=&\log_{8}\left(y-40\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ geeft } b=\log_a\left(c\right)}\\ 0.1\cdot x&=&\log_{8}\left(y-40\right)-9\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constante term naar rechts gehaald}}\\ x&=&\dfrac{\log_{8}\left(y-40\right)-9}{0.1}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten delen door }0.1} \end{array}$

Nieuw voorbeeld