Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
Variabele vrijmaken
Door de kennis die we opgedaan hebben bij het omschrijven van logaritmen, kunnen we een exponentiële functie omschrijven naar een functie van de vorm #x=\ldots#. Dit wordt ook wel het vrijmaken van #x# genoemd.
De functie #y=5\cdot 4^{x-1}# kunnen we omschrijven naar een vergelijking van de vorm #x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)#.
\[\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{beide kanten gedeeld door }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ geeft }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{beide kanten }1\text{ bij optellen}}\end{array}\]
We kunnen #x# ook vrijmaken bij moeilijkere functies, zoals de volgende voorbeelden.
\[y=1+5^{0.7\cdot x+5}\]
\(\begin{array}{rcl}
y&=&1+5^{0.7\cdot x+5}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{de oorspronkelijke vergelijking}}\\
5^{0.7\cdot x+5}&=&y-1\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omgedraaid en constante term naar rechts gehaald}}\\
0.7\cdot x+5&=&\log_{5}\left(y-1\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ geeft } b=\log_a\left(c\right)}\\
0.7\cdot x&=&\log_{5}\left(y-1\right)-5\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{constante term naar rechts gehaald}}\\
x&=&\dfrac{\log_{5}\left(y-1\right)-5}{0.7}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten delen door }0.7}
\end{array}\)
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
