Calculs avec des puissances à exposants fractionnaires

Algèbre: Puissances et racines

Calculs avec des puissances à exposants fractionnaires

Une puissance à exposant fractionnaire est une puissance dont l'exposant peut être écrit sous forme d'une fraction. Une racine peut être écrite comme une puissance à exposant fractionnaire.

Pour $\blue a\geq 0$ et un entier $\orange n \geq 2$ nous avons:

$\blue a^{\frac{1}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a}$

Exemples

$\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{1}{\orange{2}}}&=& \sqrt{\blue{x}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{1}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x}}\end{array}$

Pour $\blue a \geq 0$ et des entiers $\orange n, \purple m \geq 2$ nous avons:

$\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}=\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}$

Exemples

$\begin{array}{rcl}\blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{2}}} &=& \sqrt{\blue{x^\purple{3}}}\\ \\ \blue{x}^{\frac{\purple{3}}{\orange{5}}}&=&\sqrt[\orange{5}]{\blue{x^\purple{3}}}\end{array}$

Cette règle peut être en déduite de la première règle.

$\begin{array}{rcl}\sqrt[\orange n]{\blue a^\purple m}&=& \left(\blue a^\purple m\right)^{\frac{1}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{règle }\sqrt[n]{a}=\blue a^{\frac{1}{n}}}\\&=&\blue a^{\frac{\purple m}{\orange n}}\\&& \phantom{xxxxx}\blue{\text{règle de calcul des puissances }\left(a^m\right)^n=a^{m \cdot n}} \end{array}$

Pour les puissances à exposants fractionnaires s'appliquent les mêmes règles que pour les puissances à exposants entiers.

Éliminez les parenthèses et écrivez la réponse sous forme d'une seule fraction.

$\left(a^{\frac{1}{6}} \cdot x \cdot y^{-3}\right)^{2}$
Simplifiez votre réponse autant que possible et écrivez-la sans aucune puissance fractionnaire et sans exposants négatifs.

$\dfrac{ \sqrt[3]{a} \cdot x^{2}}{y^{6}}$

$\begin{array}{rcl} \left(a^{\frac{1}{6}} \cdot x \cdot y^{-3}\right)^{2} &=& \left(a^{\frac{1}{6}}\right)^{2} \cdot x^{2} \cdot \left(y^{-3}\right)^{2} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle } \left(a \cdot b \right)^{n} = a^{n} \cdot b^{n}} \\ &=& a^{\frac{1}{6} \cdot 2} \cdot x^{2} \cdot y^{-3 \cdot 2} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{règle } \left(a^{n}\right)^{m} = a^{n \cdot m}} \\ &=& a^{{{1}\over{3}}} \cdot x^{2} \cdot y^{-6} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{calcul des exposants}}\\ &=& \dfrac{ \sqrt[3]{a} \cdot x^{2}}{y^{6}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{élimination des exposants négatifs et fractionnaires par les règles }} \\&&\phantom{xxx}\blue{a^{-n}=\frac{1}{a^n} \text{ et } a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}} \end{array}$

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