Functies: Limieten en asymptoten
Verticale asymptoten
Nu we gezien hebben hoe horizontale asymptoten met de limiet te maken hebben, zullen we ook kijken hoe we verticale asymptoten kunnen vinden met de limiet.
Verticale asymptoten
Een functie #\blue{f(x)}# heeft een verticale asymptoot #x=\green a# als één van de onderstaande situaties het geval is:
#\lim_{x \uparrow \green a}\blue{f(x)}=- \infty# of #\lim_{x \uparrow \green a}\blue{f(x)}= \infty#
en/of
#\lim_{x \downarrow \green a}\blue{f(x)}=- \infty# of #\lim_{x \downarrow \green a}\blue{f(x)}= \infty#
Voorbeeld
#\blue{f(x)}=\blue{\frac{1}{x+2}}#
heeft een verticale asymptoot #x=\green{-2}#, want
#\lim_{x \uparrow \green{-2}}\blue{\frac{1}{x+2}}=-\infty# en #\lim_{x \downarrow \green{-2}}\blue{\frac{1}{x+2}}=\infty#
Gegeven de functie
\[f(x)=\frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)}\]
Bepaal de verticale asymptoten van deze functie. Geef je antwoord in de vorm "#x=b#" voor een geschikt getal #b#. Als er meerdere verticale asymptoten zijn, klik dan op het plusje om een antwoordveld toe te voegen. Als er geen verticale asymptoten zijn, vul dan "geen" in.
\[f(x)=\frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)}\]
Bepaal de verticale asymptoten van deze functie. Geef je antwoord in de vorm "#x=b#" voor een geschikt getal #b#. Als er meerdere verticale asymptoten zijn, klik dan op het plusje om een antwoordveld toe te voegen. Als er geen verticale asymptoten zijn, vul dan "geen" in.
#x=6# en #x=-3#
De functie #f(x)# heeft een verticale asymptoot op punten dat de functie niet gedefinieerd is. In dit geval zijn dat de punten waarop de noemer #0# is en de teller niet, namelijk #x=6# en #x=-3#.
\[f(x)=\frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)}\]
Om te controleren of deze punten inderdaad verticale asymptoten geven, rekenen we de linker- of rechterlimiet uit van #f(x)# naar deze waarden van #x#:
\[\displaystyle \lim_{x\downarrow \, 6 } f(x) = \displaystyle\lim_{x\downarrow \, 6 } \frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)}= \infty \]
\[\displaystyle \lim_{x\downarrow \, -3 } f(x) = \displaystyle\lim_{x\downarrow \, -3 } \frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)} = -\infty\]
De limieten zijn plus/min oneindig omdat de noemer naar nul gaat en de teller niet. Door logisch redeneren zien we dan of de limieten plus of min oneindig zijn. Omdat de waarde van de limieten in #x=6# en #x=-3# inderdaad #\pm\infty# is, kunnen we concluderen dat dit verticale asymptoten zijn.
De functie #f(x)# heeft een verticale asymptoot op punten dat de functie niet gedefinieerd is. In dit geval zijn dat de punten waarop de noemer #0# is en de teller niet, namelijk #x=6# en #x=-3#.
\[f(x)=\frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)}\]
Om te controleren of deze punten inderdaad verticale asymptoten geven, rekenen we de linker- of rechterlimiet uit van #f(x)# naar deze waarden van #x#:
\[\displaystyle \lim_{x\downarrow \, 6 } f(x) = \displaystyle\lim_{x\downarrow \, 6 } \frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)}= \infty \]
\[\displaystyle \lim_{x\downarrow \, -3 } f(x) = \displaystyle\lim_{x\downarrow \, -3 } \frac{\left(x-2\right)\cdot \left(x+2\right)}{\left(x-6\right)\cdot \left(x+3\right)} = -\infty\]
De limieten zijn plus/min oneindig omdat de noemer naar nul gaat en de teller niet. Door logisch redeneren zien we dan of de limieten plus of min oneindig zijn. Omdat de waarde van de limieten in #x=6# en #x=-3# inderdaad #\pm\infty# is, kunnen we concluderen dat dit verticale asymptoten zijn.
Hieronder is de grafiek van de functie met verticale asymptoten te zien.
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
