Functies: Limieten en asymptoten
Scheve asymptoten
Naast horizontale asymptoten en verticale asymptoten is er nog een derde soort asymptoot, namelijk de scheve asymptoot. Dit is een schuine lijn van de vorm #y=ax+b#, waar de grafiek steeds dichter toe nadert als #x# groot of heel klein wordt.
Scheve asymptoten
De functie #\blue{f(x)}# heeft een scheve asymptoot #y=\green{ax+b}# naar oneindig als #\blue{f(x)}# geschreven kan worden als \[\blue{f(x)}=\green{ax+b}+\orange{g(x)}\] met
\[\lim\limits_{x \to \infty}\orange{g(x)}=0 \text{ en } a\ne 0\]
Op dezelfde wijze heeft #\blue{f(x)}# een scheve asymptoot #y=\green{ax+b}# naar min oneindig als #\blue{f(x)}# geschreven kan worden als \[\blue{f(x)}=\green{ax+b}+\orange{g(x)}\] met
\[\lim\limits_{x \to -\infty}\orange{g(x)}=0 \text{ en } a\ne 0\]
Voorbeeld
#\blue{f(x)}=\blue{\frac{x^2+1}{x}}#
heeft als scheve asymptoot #y=\green{x}#
naar #\infty# en #-\infty#, want
#\blue{\frac{x^2+1}{x}}=\green{x}+\orange{\frac{1}{x}}#
met
#\lim_{x \to \infty}\orange{\frac{1}{x}}=0#
en
#\lim_{x \to -\infty}\orange{\frac{1}{x}}=0#
\[f(x)={{x^2-3\cdot x}\over{x-5}}\]
Bepaal de scheve asymptoten van deze functie. Geef je antwoord in de vorm "#y=a\cdot x +b#" voor geschikte getallen #a# en #b#. Als er meerdere scheve asymptoten zijn, klik dan op het plusje om een antwoordveld toe te voegen. Als er geen scheve asymptoten zijn, vul dan "geen" in.
De graad van de teller is #2# en de graad van de noemer is #1#. De graad van de teller is dus precies éen hoger dan die van de noemer, waardoor de functie een scheve asymptoot heeft.
Deze kunnen we vinden door de teller te delen door de noemer met behulp van een staartdeling:
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle f(x)
&=& \displaystyle {{x^2-3\cdot x}\over{x-5}}\\
&& \qquad \blue{\text{de functie ingevuld}}\\
&=& \displaystyle x+2 + {{10}\over{x-5}} \\
&& \qquad \blue{\text{staartdeling uitgevoerd}}\\
\end{array}\]
We zien dat #y=x+2# een kandidaat is voor een scheve asymptoot. We moeten alleen nog checken dat de laatste term naar #0# gaat als #x\to \pm\infty#:
\[\displaystyle\lim_{x\to\infty}{{10}\over{x-5}}=0\]
\[\displaystyle\lim_{x\to-\infty}{{10}\over{x-5}}=0\]
De laatste term gaat inderdaad naar #0# als #x\to \pm\infty#, dus de scheve asymptoot in plus en min oneindig is #y=x+2#
\[f(x)={{x^2-3\cdot x}\over{x-5}} = \frac{\left(x-3\right)\cdot x}{x-5}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.