Exponentiële functies en logaritmen: Logaritmen
De logaritme
We hebben eerder gekeken naar exponentiële functies. We gaan nu kijken naar de logaritme, dit kunnen we zien als de inverse, of tegenovergestelde, van de exponentiële functie. Neem de functie #\blue{a}^x#; het kan interessant zijn om #x# op te lossen in de vergelijking #\blue{a}^x=\green{b}#. Bij het oplossen van deze vergelijking gaan we gebruik maken van de logaritme.
Logaritme
Het getal #\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)# is de exponent waarmee #\blue{a}# verheven moet worden om #\green{b}# te krijgen, we noemen dit de logaritme. Er geldt dus
\[\begin{array}{lcr}\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)=x&\text{ als }&\blue{a}^x=\green{b}\end{array}\]
Het getal #\blue{a}# heet het grondtal van de logaritme. Het getal #\blue{a}# moet positief zijn en ongelijk #1#, het getal #\green{b}# moet positief zijn.
Voorbeelden
\[\begin{array}{lcrl}\log_{\blue{2}}\left(\green{8}\right)&=&3&\text{want }\blue{2}^3=\green{8} \\ \log_{\blue{4}}\left(\green{\frac{1}{16}}\right)&=&-2&\text{want }\blue{4}^{-2}=\green{\frac{1}{16}} \\ \log_{\blue{5}}\left(\green{\sqrt{5}}\right)&=&\frac{1}{2}&\text{want }\blue{5}^{\frac{1}{2}}=\green{\sqrt{5}} \\ \end{array}\]
Uit de definitie van de logaritme kunnen we twee belangrijke regels afleiden.
\[\begin{array}{rcl}\blue{a}^{\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)}&=&\green{b}\end{array}\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{lccr}\blue{3}^{\log_{\blue{3}}\left(\green{9}\right)}&=&\green{9}\end{array}\]
\[\begin{array}{rcl}\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^{\green{b}}\right)&=&\green{b}\end{array}\]
Voorbeeld
\[\begin{array}{lccrr}\log_{\blue{a}}\left(1\right)&=&\log_{\blue{a}}\left(\blue{a}^\green{0}\right)&=&\green{0}\end{array}\]
# \begin{array}{rcl}
\log_{4}\left(64\right)&=&\log_{4}\left(4^3 \right)\\
&&\quad \blue{\text{zoek }x\text{ zodanig dat }4^x=64}\\
&=& 3\\
&&\quad \blue{\log_{a}\left(a^b\right)=b}
\end{array} #
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
