Fonctions exponentielles et logarithmes: Logarithmic functions
Isolation de variables
En utilisant ce que nous avons appris lors de la réécriture de logarithmes, nous pouvons réécrire des fonctions exponentielles comme une fonction de la forme #x=\ldots#. Nous appelons cela l'isolation de la variable #x#.
Nous pouvons réécrire la fonction #y=5\cdot 4^{x-1}# comme une équation de la forme #x=\blue{a}+\log_{\green{b}}\left(\purple{c}\cdot y\right)#.
\[\begin{array}{rcl}5\cdot 4^{x-1}&=&y\\&& \blue{\text{équation donnée}}\\4^{x-1}&=&\frac{y}{5}\\&&\blue{\text{division par }5}\\x-1&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)\\&&\blue{a^b=c\text{ donne }b=\log_a\left(c\right)}\\x&=&\log_4\left(\frac{y}{5}\right)+1\\&&\blue{\text{addition de }1}\end{array}\]
Nous pouvons également isoler #x# de fonctions plus difficiles comme vous pouvez le voir dans les exemples suivants.
\[y=28+8^{0.9\cdot x+7}\]
\(\begin{array}{rcl}
y&=&28+8^{0.9\cdot x+7}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{équation donnée}}\\
8^{0.9\cdot x+7}&=&y-28\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{échange des membres et termes constants mis dans le membre de droite}}\\
0.9\cdot x+7&=&\log_{8}\left(y-28\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^b=c \text{ donne } b=\log_a\left(c\right)}\\
0.9\cdot x&=&\log_{8}\left(y-28\right)-7\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants mis dans le membre de droite}}\\
x&=&\dfrac{\log_{8}\left(y-28\right)-7}{0.9}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{division par }0.9}
\end{array}\)
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