Dérivée d'une somme

Différentiation: Sum and product rule

Dérivée d'une somme

Lors de la dérivée de fonctions puissances, nous avons vu que nous pouvons mettre en évidence un facteur constant. En général, nous pouvons le faire pour dériver des fonctions de la forme $\orange{c}\cdot \blue{f}$ .

Dérivée d'un facteur constant

Pour une constante $\orange{c}$ et une fonction $\blue {f}$ , nous avons:

$\dfrac{\dd}{\dd x}\left(\orange{c}\cdot \blue{f(x)}\right)=\orange{c}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}$

Exemple

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}\left(\green{\orange{3}\blue{x^3}} \right)&=&\orange{3}\cdot \dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x^3} \\ &=& \orange{3}\cdot 3x^2 \\ &=& 9x^2\end{array}$

La dérivée d'une constante multipliée par une fonction $c\cdot f(x)$ est:

$\dfrac{\dd}{\dd x}\left( c\cdot f(x)\right)= \dfrac{c\cdot f(x+h) - c\cdot f(x)}{h} = c \cdot \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}= c \cdot \dfrac{\dd}{\dd x} f(x)$

Pour $h \to 0$ .

Nous pouvons également considérer la somme de deux fonctions.

Dérivée d'une somme

La dérivée d'une somme de deux fonctions $\blue{f(x)}$ et $\green{g(x)}$ est:

$\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{f(x)}+\green{g(x)}) =\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{g(x)}$

Exemple

$\begin{array}{rcl}\dfrac{\dd}{\dd x}(\blue{x}+\green{x^2})&=&\dfrac{\dd}{\dd x}\blue{x}+\dfrac{\dd}{\dd x}\green{x^2}\\&=&1+2x\end{array}$

La dérivée de la somme de deux fonctions $f(x)+g(x)$ est:

$\begin{array}{rcl} \dfrac{\dd}{\dd x}(f(x)+g(x)) &=& \dfrac{f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}\\&=&\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} + \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\&=&\dfrac{\dd}{\dd x}f(x)+\dfrac{\dd}{\dd x}g(x)\end{array}$

pour $h \to 0$ .

Calculez la dérivée $f'(x)$ de la fonction $f(x)=$ $\sqrt{7}\cdot x^9+7\cdot \sqrt{x}$ .

$f'(x)=$ $9\cdot \sqrt{7}\cdot x^8+{{7}\over{2\cdot \sqrt{x}}}$

$\begin{array}{rcl} \displaystyle f'(x)&=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{7}\cdot x^9+7\cdot \sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{définition de la dérivée}}\\ &=&\displaystyle\frac{\dd}{\dd x}\left(\sqrt{7}\cdot x^9\right)+\frac{\dd}{\dd x}\left(7\cdot \sqrt{x}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une somme }\frac{\dd}{\dd x}\left(f(x)+g(x)\right)=\frac{\dd}{\dd x}f(x)+\frac{\dd}{\dd x}g(x)}\\ &=&\displaystyle \sqrt{7}\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{9}\right)+7\cdot\dfrac{\dd}{\dd x}\left(x^{{{{1}\over{2}}}}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'un facteur constant }\frac{\dd}{\dd x}\left(c\cdot f(x)\right)=c\cdot\frac{\dd}{\dd x}f(x)\text{ et }\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\\ &=&\displaystyle \sqrt{7}\cdot\left(9\cdot x^{{8}}\right)+7\cdot\left({{1}\over{2}}\cdot x^{{-{{1}\over{2}}}}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une puissance }\frac{\dd}{\dd x}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}}\\ &=&\displaystyle\sqrt{7}\cdot\left(9\cdot x^8\right)+7\cdot\left({{1}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\right)\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{réécriture des termes en }x}\\ &=&\displaystyle 9\cdot \sqrt{7}\cdot x^8+{{7}\over{2\cdot \sqrt{x}}}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\\ \end{array}$

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