De tweede afgeleide

Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden

De tweede afgeleide

De afgeleide #f'# van een functie #f# kan nog een keer worden gedifferentieerd. We noemen dit de tweede afgeleide van #f#.

Voor een functie #\blue{f(x)}# geven we de tweede afgeleide aan als:

\[\purple{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\green{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)=\frac{\dd^2}{\dd x^2} \,\blue{f(x)}\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \green{f'(x)}&\green{=}&\green{6x}\\\purple{f''(x)}&\purple{=}&\purple{6}\end{array}\]

Intuïtie
We hebben eerder gezien dat de afgeleide #\green{f'(x)}# van een functie #\blue{f(x)}# zijn differentiequotiënt meet. Als #\blue{f(x)}# stijgt in #x#, dan #\green{f'(x)}>0# en als #\blue{f(x)}# daalt in #x#, dan #\green{f'(x)}<0#.

Dezelfde redenering kan worden uitgebreid tot de eerste en tweede afgeleide, wat betekent dat de tweede afgeleide #\purple{f''(x)}# de differentiequotiënt van de eerste afgeleide #\green{f'(x)}# meet. Hierbij geldt dat als #\green{f'(x)}# stijgt in #x#, dan #\purple{f''(x)}>0# en als #\green{f'(x)}# daalt in #x#, dan #\purple{f''(x)}<0#.

De tweede afgeleide is handig wanneer men de extreme waarden van een functie #f(x)# wil vinden. We zagen eerder dat de voorwaarde #f'(c)=0# niet meteen impliceert dat #c# overeenkomt met een extreme waarde. De volgende stelling helpt ons te bepalen of stationaire punten, wat de punten zijn waarvoor geldt #f'(c)=0#, al dan niet overeenkomen met een extreme waarde zonder de grafiek te schetsen of een tekenschema te maken.

Stationaire punten identificeren
Laat #\blue{f(x)}# een functie zijn en #\orange{c}# een stationair punt in het domein van #\blue{f(x)}#.

Als #\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}\neq 0#, dan heeft #\blue{f(x)}# een extreme waarde in #\orange{c}#.

Specifieker,

Als #\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}>0#, dan komt #\orange{c}# overeen met een lokaal minimum,
Als #\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}<0#, dan komt #\orange{c}# overeen met een lokaal maximum.

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\
\green{f'(x)}&=&\green{4x+1}\\
\purple{f''(x)}&=&\purple{4}\\
\green{f'(}\orange{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&0\\
\purple{f''(}\orange{-\frac{1}{4}}\purple{)}&=&4\neq 0\end{array}\] #\textstyle\purple{f''(}\orange{-\frac{1}{4}}\purple{)}> 0#, dus #\textstyle\blue{f(}\orange{-\frac{1}{4}}\blue{)}=\frac{3}{8}#
is een lokaal minimum van #\blue{f(x)}#.

Stap voor stap De stapsgewijze methode voor het vinden van de extreme waarden van een functie #\blue{f(x)}# wordt met deze stelling een stuk eenvoudiger. We kunnen stap #3# gedeeltelijk vervangen door gewoon te controleren of de tweede afgeleide bij de gevonden nulpunten kleiner, groter of gelijk is aan #0#.

Om te beslissen of de grenspunten van het domein van #\blue{f(x)}# extreme waarden zijn, moeten we nog steeds de grafiek schetsen of een tekenschema maken, zoals beschreven in stap #3# van de stapsgewijze methode.

Tweede afgeleide is nul Het geval waarin #\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}= 0# later wordt besproken. In dat geval hebben we te maken met buigpunten.

Bereken #f''(x)# voor #f(x)=4\cdot x^3-2\cdot x+6#.

Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

#f''(x)=# #24\cdot x#

We berekenen eerst de eerste afgeleide met behulp van de machtregel.
\[f'(x)=12\cdot x^2-2\]
Vervolgens berekenen we op dezelfde wijze de tweede afgeleide.
\[f''(x)=24\cdot x\]

Nieuw voorbeeld