De tweede afgeleide

Differentiëren: Toepassingen van afgeleiden

De tweede afgeleide

De afgeleide $f'$ van een functie $f$ kan nog een keer worden gedifferentieerd. We noemen dit de tweede afgeleide van $f$ .

Voor een functie $\blue{f(x)}$ geven we de tweede afgeleide aan als:

$\purple{f''(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\green{f'(x)}=\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\dd}{\dd x}\blue{f(x)}\right)=\frac{\dd^2}{\dd x^2} \,\blue{f(x)}$

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&\blue{=}&\blue{3x^2}\\ \green{f'(x)}&\green{=}&\green{6x}\\\purple{f''(x)}&\purple{=}&\purple{6}\end{array}$

We hebben eerder gezien dat de afgeleide $\green{f'(x)}$ van een functie $\blue{f(x)}$ zijn differentiequotiënt meet. Als $\blue{f(x)}$ stijgt in $x$ , dan $\green{f'(x)}>0$ en als $\blue{f(x)}$ daalt in $x$ , dan $\green{f'(x)}<0$ .

Dezelfde redenering kan worden uitgebreid tot de eerste en tweede afgeleide, wat betekent dat de tweede afgeleide $\purple{f''(x)}$ de differentiequotiënt van de eerste afgeleide $\green{f'(x)}$ meet. Hierbij geldt dat als $\green{f'(x)}$ stijgt in $x$ , dan $\purple{f''(x)}>0$ en als $\green{f'(x)}$ daalt in $x$ , dan $\purple{f''(x)}<0$ .

De tweede afgeleide is handig wanneer men de extreme waarden van een functie $f(x)$ wil vinden. We zagen eerder dat de voorwaarde $f'(c)=0$ niet meteen impliceert dat $c$ overeenkomt met een extreme waarde. De volgende stelling helpt ons te bepalen of stationaire punten, wat de punten zijn waarvoor geldt $f'(c)=0$ , al dan niet overeenkomen met een extreme waarde zonder de grafiek te schetsen of een tekenschema te maken.

Laat $\blue{f(x)}$ een functie zijn en $\orange{c}$ een stationair punt in het domein van $\blue{f(x)}$ .

Als $\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}\neq 0$ , dan heeft $\blue{f(x)}$ een extreme waarde in $\orange{c}$ .

Specifieker,

Als $\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}>0$ , dan komt $\orange{c}$ overeen met een lokaal minimum,
Als $\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}<0$ , dan komt $\orange{c}$ overeen met een lokaal maximum.

Voorbeeld

$\begin{array}{rcl}\blue{f(x)}&=&\blue{2x^2+x}\\ \green{f'(x)}&=&\green{4x+1}\\ \purple{f''(x)}&=&\purple{4}\\ \green{f'(}\orange{-\frac{1}{4}}\green{)}&=&0\\ \purple{f''(}\orange{-\frac{1}{4}}\purple{)}&=&4\neq 0\end{array}$ $\textstyle\purple{f''(}\orange{-\frac{1}{4}}\purple{)}> 0$ , dus $\textstyle\blue{f(}\orange{-\frac{1}{4}}\blue{)}=\frac{3}{8}$
is een lokaal minimum van $\blue{f(x)}$ .

De stapsgewijze methode voor het vinden van de extreme waarden van een functie $\blue{f(x)}$ wordt met deze stelling een stuk eenvoudiger. We kunnen stap $3$ gedeeltelijk vervangen door gewoon te controleren of de tweede afgeleide bij de gevonden nulpunten kleiner, groter of gelijk is aan $0$ .

Om te beslissen of de grenspunten van het domein van $\blue{f(x)}$ extreme waarden zijn, moeten we nog steeds de grafiek schetsen of een tekenschema maken, zoals beschreven in stap $3$ van de stapsgewijze methode.

Het geval waarin $\purple{f''(}\orange{c}\purple{)}= 0$ later wordt besproken. In dat geval hebben we te maken met buigpunten.

Bereken $f''(x)$ voor $f(x)=8\cdot x^4-4\cdot x^2+3$ .

Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.

$f''(x)=$ $96\cdot x^2-8$

We berekenen eerst de eerste afgeleide met behulp van de machtregel.
$f'(x)=32\cdot x^3-8\cdot x$
Vervolgens berekenen we op dezelfde wijze de tweede afgeleide.
$f''(x)=96\cdot x^2-8$

Nieuw voorbeeld