The antiderivative of a power function

Intégration: Antiderivatives

The antiderivative of a power function

Comme pour la dérivation, nous utilisons des règles pour déterminer les primitives de fonctions lors de l'intégration. Nous allons d'abord regarder la primitive d'une fonction puissance.

Pour #\orange n\neq -1# :

\[\int x^\orange {n}\;\dd x = \frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C \]

Exemple

# \begin{array}{rcl}
\displaystyle \int x^\orange 4 \;\dd x &=&\dfrac{1}{\orange 4+1}x^{\orange 4+1} + \green C \\
&=&\dfrac 15 x^5 + \green C
\end {array} #

Nous pouvons le prouver en montrant que la dérivée de #\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C# correspond à #x^\orange {n}#.

\[\begin{array}{rcl}\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1} + \green C\right)&=& \frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{1}{\orange n+1}x^{\orange n+1}\right)+\frac{\dd}{\dd x} \green C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une somme}} \\ &=&\frac{1}{\orange n+1} \frac{\dd}{\dd x}x^{\orange n+1} +0 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'un facteur constant et d'une constante }0} \\ &=& \frac{1}{\orange n+1} \cdot \left(\orange n+1\right) \cdot x^{\orange n +1-1} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{dérivée d'une puissance }\frac{\dd}{\dd x}x^n=n \cdot x^{n-1}} \\ &=& x^{\orange n}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}\end{array}\]

Racine carrée

Nous pouvons également déterminer la primitive d'une racine carrée en utilisant cette règle.

\[\int \sqrt{x} \;\dd x = \int x^\orange{\frac{1}{2}} \; \dd x = \frac{1}{\orange{\frac{1}{2}}+1}x^{\orange{\frac{1}{2}}+1} +\green C= \frac{2}{3}x \sqrt{x}+\green C\]

Déterminez une primitive #F# de la fonction #f(x)=x^5#.

#F(x)=# #{{x^6}\over{6}}#

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int x^5 \; \dd x
&=&\displaystyle \frac{1}{5+1} x^{5+1}+C \\ &&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\text{règle de calcul } \int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\frac{1}{n+1} x^{n+1} + C}\\
&=&\displaystyle {{x^6}\over{6}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{simplification}}
\end{array}#

Comme une primitive est demandée, nous pouvons choisir #C=0#. Donc:
\[F(x)={{x^6}\over{6}}\]

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