We hebben gezien hoe we de oppervlakte onder grafieken en tussen twee grafieken kunnen berekenen met behulp van integreren. Nu zullen we kijken hoe we met behulp van integreren de inhoud van omwentelingslichamen kunnen berekenen. Een omwentelingslichaam ontstaat door de grafiek rond een as te draaien over #360^{\circ}# (of #2 \pi# rad).
Het vlakdeel #S# wordt ingesloten door de functie #\blue f#, de #x#-as en de lijnen #x=a# en #x=b#.
De inhoud (afgekort #V# wegens Engelse woord "volume") van het lichaam #\orange B# (#\orange B# wegens het Engelse woord "body"), dat ontstaat als #S# wentelt om de #x#-as is gelijk aan
\[V(\orange B)=\pi \cdot \int_a^b (\blue{f(x)})^2 \; \dd x\]
We bewijzen dit door te laten zien dat de afgeleide van de inhoud gelijk is aan #\pi (\blue{f(x)})^2#, want dan geldt dat #V(x)# is een primitieve van #\pi (\blue{f(x)})^2#.
Voor #V'(x)# geldt volgens de definitie van de afgeleide
\[V'(x) = \frac{V(x+h)-V(x)}{h} \text{ met } h \to 0\]
Voor kleine #h# kunnen we #V(x+h)-V(x)# benaderen door een cilinder met een grondvlak met oppervlakte #\pi (\blue{f(x)})^2# en hoogte #h#. Dus
\[V(x+h)-V(x)= \pi (\blue{f(x)})^2 \cdot h\]
Dit betekent dat
\[\frac{V(x+h)-V(x)}{h}=\pi (\blue{f(x)})^2\]
Dus er geldt zoals we wilden bewijzen dat #V'(x)=\pi (\blue{f(x)})^2#. Daarom geldt dus #V(x)=\pi \int (\blue{f(x)})^2 \; \dd x#.
Hierboven hebben we laten zien hoe je de inhoud van een omwentelingslichaam kan berekenen. Je kan ook de oppervlakte van een omwentelingslichaam berekenen. Als je de oppervlakte wilt berekenen van het lichaam #\orange{B}# zoals dit hierboven beschreven wordt, is deze gelijk aan \[A(\orange{B})=2\pi\cdot \int_a^b \blue{f}(x)\cdot \sqrt{1+(\purple{f'}(x))^2}\]
Als we functie #f(x)=\frac{1}{x}# bestuderen op het interval #\left[0,\infty\right)#, zien we iets interessants. De inhoud van het omwentelingslichaam, wat er uit ziet als een trompet, is gelijk aan
\[\pi \cdot \int_1^{\infty}\left(\frac{1}{x}\right)^2\, \dd x=\pi\cdot \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=\pi\cdot \left(-\frac{1}{\infty}-(-1)\right)=\pi,\] we merken op dat we gebruiken dat #\frac{1}{\infty}=0#.
Als we nu de oppervlakte van het omwentelingslichaam berekenen, krijgen we
\[2\pi \int_1^{\infty}\frac{1}{x}\cdot \sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\, \dd x\]
Omdat #\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2# altijd positief is, is #\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}# altijd strikt groter dan #1#, en is de integraal strikt groter dan de integraal #\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}\, \dd x#. Als we deze integraal berekenen krijgen we
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\, \dd x= \left[\ln \abs{x}\right]_{1}^{\infty}=\ln \abs{\infty}-\ln \abs{1} = \ln \abs{\infty} = \infty \]
Omdat #\ln \abs{x}# telkens groter wordt als #x# groter wordt, kunnen we zeggen dat #\ln \abs{\infty}# gelijk is aan oneindig. Wat we nu zien is eigenlijk heel tegenstrijdig, we hebben een trompet met een eindige inhoud maar met een oneindig oppervlakte. Als we de oppervlakte van de trompet zouden willen verven, zouden we niet genoeg hebben aan alle verf die ín de trompet past, terwijl het ook overal tegen de binnenkant aan zit?
Dit leuke schijnbaar paradoxale probleem is uitgevonden in de 17e eeuw door de Italiaanse wetenschapper Evangelista Torricelli, en wordt daarom ook wel eens de Trompet van Torricelli genoemd.
Net als bij oppervlakten kunnen we ook de inhoud berekenen van een lichaam dat ontstaat door een vlakdeel tussen twee grafieken om de #x#-as te wentelen.
Het vlakdeel #S# wordt ingesloten door de functies #\blue f#, #\green{g}# met #\blue{f} \gt \green{g}# en de lijnen #x=a# en #x=b#.
De inhoud van het lichaam #\orange B#, dat ontstaat als #S# wentelt om de #x#-as is gelijk aan:
\[V(\orange B)=\pi \cdot \int_a^b (\blue{f(x)})^2-(\green{g(x)})^2 \; \dd x\]
We kunnen dit bewijzen door de inhoud van het omwentelingslichaam rond de #x#-as onder #\green{g}# af te trekken van het omwentelingslichaam rond de #x#-as onder #\blue{f}#.
\[\pi \int_a^b (\blue{f(x)})^2 \; \dd x-\pi \int_a^b (\green{g(x)})^2 \; \dd x =\pi \cdot \int_a^b (\blue{f(x)})^2-(\green{g(x)})^2 \; \dd x\]
Tot nu hebben we gezien hoe we een vlakdeel om de #x#-as wentelen, maar we kunnen een vlakdeel ook om de #y#-as wentelen.
Het vlakdeel #S# wordt ingesloten door de functie #\blue{f(x)}#, de #y#-as en de lijnen #y=a# en #y=b#.
De inhoud van het lichaam #\orange B#, dat ontstaat als #S# wentelt om de #y#-as is gelijk aan
\[V(\orange B)=\pi \cdot \int_a^b x^2 \; \dd y\]
Let erop dat we #x# in de integraal moeten uitdrukken in #y# met behulp van #\blue{f(x)}#.
We bewijzen dit op dezelfde wijze als bij een omwentelingslichaam rond de #x#-as. Dus we gaan laten zien dat de afgeleide van de inhoud gelijk is aan #\pi (x)^2#, want dan geldt dat #I(y)# is een primitieve van #\pi (x)^2#.
Voor #V'(y)# geldt volgens de definitie van de afgeleide
\[V'(y) = \frac{V(y+h)-V(y)}{h} \text{ met } h \to 0\]
Voor kleine #h# kunnen we #V(y+h)-V(y)# benaderen door een cilinder met een grondvlak met oppervlakte #\pi x^2# en hoogte #h#. Dus
\[V(y+h)-V(y)= \pi x^2 \cdot h\]
Dit betekent dat
\[\frac{V(y+h)-V(y)}{h}=\pi x^2\]
Dus er geldt zoals we wilden bewijzen dat #V'(y)=\pi x^2#. Daarom geldt dus #V(y)=\pi \int x^2 \; \dd y#.
Het vlakdeel #S# wordt ingesloten door functie #f(x)={{x^2}\over{2}}+4#, de #x#-as en de lijnen #x=2# en #x=3#.
Lichaam #B# ontstaat door vlakdeel #S# om de #x#-as te wentelen.
Bereken de inhoud van lichaam #B#. Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk.
#V(B)=# #{{3113\cdot \pi}\over{60}}#
#\begin{array}{rcl}V(B)&=& \displaystyle \pi \cdot \int_{2}^{3} \left(f(x)\right)^2 \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor inhoud omwentelingslichaam}} \\ &=& \displaystyle \pi \cdot \int_{2}^{3} \left({{x^2}\over{2}}+4\right)^2 \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{f(x)={{x^2}\over{2}}+4 \text{ ingevuld}} \\&=& \displaystyle \pi \cdot \int_{2}^{3} {{x^4}\over{4}}+4\cdot x^2+16 \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{kwadraat uitgewerkt}} \\ &=& \displaystyle \pi \cdot \left[{{x^5}\over{20}}+{{4\cdot x^3}\over{3}}+16\cdot x\right]_{2}^{3} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{geprimitiveerd}} \\ &=& \displaystyle \pi\left({{1923}\over{20}}-{{664}\over{15}}\right) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{grenzen ingevuld}} \\ &=& \displaystyle {{3113\cdot \pi}\over{60}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}} \end{array}#