Integreren: Integratietechnieken
Substitutiemethode
Bij differentiëren hebben we de kettingregel gezien. Deze zegt dat #\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)'=g'(h(x))\cdot h'(x)#. Omgekeerd kunnen we deze regel gebruiken voor integreren.
Als we kunnen schrijven #f(x)=\blue{g\bigl(}\green{h(x)}\blue{\bigr)} \cdot \purple{h'(x)}# en #\orange G# een primitieve is van #\blue g#, dan geldt:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int f(x) \; \dd x &=&\displaystyle \int \blue {g\bigl(}\green{h(x)}\blue{\bigr)} \cdot \purple{ h'(x)} \; \dd x\\ &=&
\displaystyle \int \blue g\bigl(\green{h(x)}\bigr) \; \dd\bigl(\green{h(x)}\bigr) \\
&=&
\displaystyle \int \blue g\bigl(\green{u}\bigr) \; \dd \green{u} \\
&=& \orange G(\green u )
\end{array}\]
Hierbij is de substitutie #\green{u}=\green{h(x)}# gebruikt.
Voorbeeld
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int 10x (x^2+1)^4 \; \dd x\\ &=&\displaystyle \int \blue{5\bigl(}\green{x^2+1}\blue{\bigr)^4} \cdot \purple{2x} \; \dd x\\ &=&
\displaystyle \int \blue{5\bigl(}\green{x^2+1}\blue{\bigr)^4}\; \dd\bigl(\green{x^2+1}\bigr) \\
&=&
\displaystyle\int \blue{5\bigl(}\green{u}\blue{\bigr)^4}\;\dd \green{u} \\
&=& \green u^5 \\ &=& (x^2+1)^5
\end{array}#
Stappenplan |
Voorbeeld |
|
Bepaal #\displaystyle \int f(x) \; \dd x# met behulp van de substitutiemethode. |
Bereken #\int 10x (x^2 +1)^4 \;\dd x#. |
|
Stap 1 |
Bepaal de functies #\blue{g(x)}# en #\green{h(x)}# zodat #f(x)=\blue {g\bigl(}\green{h(x)}\blue{\bigr)}\cdot\purple{h'(x)} #, waarbij de primitieve #\orange G# van #\blue{g(x)}# bekend is. |
#\begin{array}{rcl} |
Stap 2 |
Schrijf de integraal in de vorm: \[\int \blue {g\bigl(}\green{h(x)}\blue{\bigr)} \cdot \purple{ h'(x)} \; \dd x \] |
#\begin{array}{rcl} |
Stap 3 |
Gebruik #\purple{h'(x)} \; \dd x= \dd\bigl(\green {h(x)}\bigr)# om te schrijven: \[\int \blue {g\bigl(}\green{h(x)}\blue{\bigr)} \cdot \dd(\green{h(x)} \] |
#\begin{array}{rcl}&=& \displaystyle\int 5(x^2 +1)^4 \; \dd\bigl(x^2+1\bigr)\end{array}# |
Stap 4 |
Substitueer #\green{h(x)}=\green{u}#. |
#\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle\int 5u^4 \;\dd u\end{array}# |
Stap 5 |
Bereken de integraal. |
#\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle u^5\end{array}# |
Stap 6 |
Substitueer #\green{u}=\green{h(x)}# weer terug in het antwoord. |
#\begin{array}{rcl}&=&\displaystyle (x^2+1)^5\end{array}# |
We passen de substitutiemethode toe met #g(x)=x^3# en #h(x)=x+2#, want dan geldt #g(h(x)) \cdot h'(x)=\left(x+2\right)^3# applies. This goes as follows:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \left(x+2\right)^3 \,\dd x&=& \displaystyle \int \left(x+2\right)^3 \cdot 1 \, \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 2: herschreven in de vorm }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \text{ met } h'(x)=1} \\ &=& \displaystyle \int \left(x+2\right)^3 \, \dd(x+2) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 3: herschreven met het gebruik van }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int u^3 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 4: gesubstitueerd }x+2=u} \\ &=& \displaystyle {{u^4}\over{4}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 5: geprimitiveerd}} \\ &=& \displaystyle {{\left(x+2\right)^4}\over{4}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 6: gesubstitueerd }u=x+2}
\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.