Een integraal die alleen goniometrische functies bevat, noemen we een goniometrische integraal. Deze integralen kunnen vaak uitgerekend worden met de substitutiemethode. Het moeilijke is dan weten welke substitutie we moeten gebruiken. In veel gevallen kunnen we de volgende regel gebruiken.
Substitutie voor goniometrische integralen
Laat #\blue{m} \geq 0# en #\orange{n} \geq 0# gehele getallen zijn. Dan kan de integraal #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x# worden opgelost met de substitutiemethode met de volgende substituties.
Als #\blue{m}# oneven is, dan gebruiken we #\green{h(x)}=\green{\cos(x)}#.
Als #\orange{n}# oneven is, dan gebruiken we #\green{h(x)}=\green{\sin(x)}#.
Als #\blue{m}# en #\orange{n}# even zijn, dan gebruiken we #\green{h(x)}=\green{2 \cdot x}#.
Merk op dat als #\blue{m}# en #\orange{n}# beide oneven zijn, we kunnen kiezen of we de substitutie #\green{h(x)}=\green{\cos(x)}# of #\green{h(x)}=\green{\sin(x)}# gebruiken.
In deze video leggen we uit hoe we de substitutiemethode kunnen gebruiken om de goniometrische integraal #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x#, waar #\blue{m} # en #\orange{n} # niet-negatieve gehele getallen zijn, kunnen oplossen.
De video is alleen beschikbaar in het Engels.
De stem in de video is door AI gegenereerd en geen menselijke stem.
Toelichting substitutie Dit betekent dat we de integraal #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x# kunnen schrijven als #\int g(\green{h(x)}) \; \dd \green{h(x)}# met de #h(x)# uit het blok en een geschikte #g(x)#.
Bepaalde integraal Deze substituties werken ook voor een bepaalde integraal in plaats van een onbepaalde integraal.
Geval #\blue{m}# is oneven In dit geval weten we dat #\blue{m}# oneven is en daarom geldt dat #\blue{m}-1# even is. We zullen nu laten zien waarom in dit geval de subsitutie #\green{h(x)}=\green{\cos(x)}# nuttig is. Merk op dat \[\dd \green{h(x)} = \dd \, \green{\cos(x)} = {-\sin(x)} \, \dd x\] Voor we de subsitutie toepassen, herschrijven we eerst de integraal. \[\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \sin(x)^m\cdot \green{\cos(x)}^n \, \dd x &=& \displaystyle \int \sin(x)^{\blue{m}-1} \cdot \sin(x) \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \, \dd x \\ &&\quad \blue{\sin(x)^{\blue{m}}=\sin(x)^{\blue{m}-1} \cdot \sin(x) \text{gebruikt}} \\ &=& \displaystyle \int \left(1-\green{\cos(x)}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot {\sin(x)} \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \, \dd x \\ &&\quad \blue{\text{de formule }1=\sin(x)^2+\cos(x)^2 \text{ toegepast}} \\ &=& \displaystyle \int -\left(1-\green{\cos(x)}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \cdot \left(-\sin(x)\right) \, \dd x \\ &&\quad \blue{\text{anders geschreven gebruikmakend van }-1 \cdot -1 =1} \\ &=& \displaystyle \int -\left(1-\green{\cos(x)}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot \green{\cos(x)}^{\orange{n}} \, \dd \green{\cos(x)} \\ &&\quad \blue{\text{gebruikt dat }\frac{\dd}{\dd x}{\cos(x)}=-\sin(x)} \\ &=& \displaystyle \int - \left(1-\green{u}^2\right)^{\frac{\blue{m}-1}{2}} \cdot \green{u}^\orange{n} \, \dd \green{u} \\ &&\quad \blue{\text{de substitutie }{u}={\cos(x)} \text{ gebruikt}} \end{array}\] De integraal waar we mee eindigen kunnen we dan berekenen.
Geval #\orange{n}# is oneven In dit geval weten we dat #\orange{n}# oneven is en daarom geldt dat #\orange{n}-1# even is. We zullen nu laten zien waarom in dit geval de substitutie #\green{h(x)}=\green{\sin(x)}# nuttig is. Merk op dat \[\dd \green{h(x)} = \dd \, \green{\sin(x)} = {\cos(x)} \, \dd x\]Voor we de subsitutie toepassen, herschrijven we eerst de integraal. \[\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \cos(x)^\orange{n} \, \dd x &=& \displaystyle \int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \cos(x)^{\orange{n}-1} \cdot \cos(x) \, \dd x \\ &&\quad \blue{\cos(x)^{n}=\cos(x)^{{n}-1} \cdot \cos(x)\text{ gebruikt}} \\ &=& \displaystyle \int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \left(1-\green{\sin(x)}^2 \right)^{\frac{\orange{n}-1}{2}} \cdot {\cos(x)} \, \dd x \\ &&\quad \blue{\text{de formule }1=\sin(x)^2+\cos(x)^2 \text{ toegepast}} \\ &=& \displaystyle \int \green{\sin(x)}^\blue{m}\cdot \left(1-\green{\sin(x)}^2 \right)^{\frac{\orange{n}-1}{2}} \, \dd \green{\sin(x)} \\ &&\quad \blue{\text{gebruikt dat }\frac{\dd}{\dd x}{\sin(x)}=\cos(x)} \\ &=& \displaystyle \int \green{u}^\blue{m}\cdot \left(1-\green{u}^2\right)^{\frac{n-1}{2}} \, \dd \green{u} \\ &&\quad \ \blue{\text{de substitutie }{u}={\sin(x)} \text{ gebruikt}} \end{array}\] De integraal waar we mee eindigen kunnen we dan berekenen.
Geval #\blue{m}# en #\orange{n}# zijn even in dit geval weten we dat zowel #\blue{m}# als #\orange{n}# even zijn. We zullen nu laten zien waarom in dit geval de substitutie #\green{h(x)}=\green{2 \cdot x}# nuttig is. Merk op dat \[\dd \green{h(x)} = \dd \, (\green{2 \cdot x}) = {2} \, \dd x\] We zullen de goniometrische formules \[\cos(x)^2 = \frac{1+\cos(2 \cdot x)}{2} \quad \text{en} \quad \sin(x)^2=\frac{1-\cos(2\cdot x)}{2}\] gebruiken. Voor we de subsitutie toepassen, herschrijven we eerst de integraal. \[\begin{array}{rcl} \displaystyle\int \sin(x)^\blue{m}\cdot \cos(x)^\orange{n} \, \dd x &=& \displaystyle \int \left(\sin(x)^2\right)^\frac{\blue{m}}{2} \cdot \left(\cos(x)^2\right)^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd x \\ &&\quad \blue{\text{anders geschreven}} \\ &=&\displaystyle \int \left(\frac{1-\cos(2 \cdot x)}{2}\right)^\frac{\blue{m}}{2} \cdot \left(\frac{1+\cos(2\cdot x)}{2}\right)^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd x \\ &&\quad \blue{\text{goniometrische formules toegepast}} \\ &=& \displaystyle \int \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}}} \cdot (1-\cos(2 \cdot x))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(2 \cdot x))^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd x \\ &&\quad \blue{\text{anders geschreven}} \\ &=& \displaystyle \int \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}+1}} \cdot (1-\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\orange{n}}{2} \cdot {2} \, \dd x \\ &&\quad \blue{\text{vermenigvuldigd met }1=\frac{1}{2}\cdot 2} \\ &=& \displaystyle \int \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}+1}} \cdot (1-\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(\green{2 \cdot x}))^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd \green{2 \cdot x} \\ &&\quad \blue{\text{gebruikt dat }\frac{\dd}{\dd x}{2 \cdot x}=2} \\ &=& \displaystyle \frac{1}{2^{\frac{\blue{m}+\orange{n}}{2}+1}} \cdot\int (1-\cos(\green{u}))^\frac{\blue{m}}{2} \cdot (1+\cos(\green{u}))^\frac{\orange{n}}{2} \, \dd \green{u} \\ &&\quad \blue{\text{de substitutie }u={2 \cdot x} \text{ toegepast}} \end{array}\] We kunnen deze integraal nu berekenen of we kunnen de regel opnieuw gebruiken waar de keuze van de substitutie afhankelijk is van of #\frac{\blue{m}}{2}# en #\frac{\orange{n}}{2}# even of oneven zijn.
Deze substituties zijn niet altijd rechtlijnig toe te passen, zoals we zagen in het tabje "Bewijs". Vaak hebben we één of meerdere van de volgende goniometrische rekenregels nodig om de integraal te herschrijven.
Waarvoor te gebruiken? Deze rekenregels gebruiken we om de juiste #g(x)# te vinden om de integraal #\int \sin(x)^{\blue{m}} \cdot \cos(x)^{\orange{n}} \; \dd x# te kunnen schrijven als #\int g(\green{h(x)}) \; \dd \green{h(x)}#.
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
Maak demo account aan
Toegang voor student
Is jouw universiteit niet aangesloten?
Via Pass Your Math kan je toegang krijgen tot onze cursussen onafhankelijk van je onderwijsinstelling. Bekijk de prijzen en nog veel meer. Of ga naar omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
Goniometrische integralen
