Integreren: Integratietechnieken
Primitiveren van quotiëntfuncties 1
We zullen nu kijken hoe we met behulp van staartdeling een quotiëntfunctie van de vorm #f(x)=\frac{p(x)}{ax+b}# waarbij #p(x)# een polynoom is en #a# en #b# getallen zijn kunnen primitiveren.
Voor een polynoom #\blue{q(x)}# en getallen #a#, #b# en #m# geldt:
\[\int \blue{q(x)}+\frac{m}{ax+b} \; \dd x= \orange{Q(x)} +\frac{m}{a}\ln|ax+b|+\green C\]
Hierbij is #\orange{Q(x)}# de primitieve van #\blue{q(x)}# en is #\green C# de integratieconstante.
Voorbeeld
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int \blue{x^2+\frac{1}{2}x-2 }+\frac{3}{2x+2}\; \dd x \\&=&\orange{\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2-2x}+\frac{3}{2}\ln|2x+2|+\green C\end{array}#
Om een functie van de vorm #\frac{p(x)}{ax+b}# te primitiveren, herschrijven we hem eerst met behulp van een staartdeling en vervolgens gebruiken we bovenstaande regel.
Stappenplan |
Voorbeeld | |
Bepaal #\displaystyle \int \frac{\blue{p(x)}}{\green{ax+b}} \; \dd x#, waarbij #p(x)# een polynoom is. |
#\displaystyle \int \frac{\blue{2x^3+3x^2-3x-1}}{\green{2x+2}} \; \dd x# | |
Stap 1 |
Herschrijf met behulp van een staartdeling #\frac{\blue{p(x)}}{\green{ax+b}}# tot #q(x)+\frac{m}{\green{ax+b}}#, waarbij #q(x)# een polynoom is en #m# een getal. |
#x^2+\frac{1}{2}x-2+\frac{3}{\green{2x+2}}# |
Stap 2 |
Herschrijf: \[\begin{array}{rcl} && \displaystyle \int \frac{\blue{p(x)}}{\green{ax+b}} \; \dd x\\&=&\displaystyle \int q(x) \; \dd x+\displaystyle \int \frac{m}{\green{ax+b}} \; \dd x\end{array}\] |
#\begin{array}{rcl}&&\displaystyle \int \frac{\blue{2x^3+3x^2-3x-1}}{\green{2x+2}} \; \dd x \\ &=& \displaystyle \int x^2+\frac{1}{2}x-2 \; \dd x+\displaystyle \int \frac{3}{\green{2x+2}}\; \dd x \end{array}# |
Stap 3 |
Bepaal #\int q(x) \; \dd x#. |
#\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2-2x# |
Stap 4 |
Bepaal #\int \frac{m}{\green{ax+b}} \; \dd x#. |
#\frac{3}{2}\ln|\green{ax+b}|# |
Stap 5 |
Bepaal #\displaystyle \int \frac{\blue{p(x)}}{\green{ax+b}} \; \dd x# door stap 3 en 4 op te tellen. |
#\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2-2x+\frac{3}{2}\ln|\green{ax+b}|+C# |
Stap 1 | We herschrijven de integrand in een polynoom en een breuk van de vorm #\frac{r}{ax+b}#, waarbij #r# en #a# en #b# getallen zijn (met behulp van een staartdeling): \[{{x-6}\over{x-3}}=1+\frac{-3}{x-3}\] |
Stap 2 | Nu kunnen we de integraal splitsen: \[\int {{x-6}\over{x-3}} \; \dd x=\int 1 \; \dd x+\int \frac{-3}{x-3} \; \dd x\] |
Stap 3 | We berekenen eerst #\int 1 \; \dd x# met behulp van de rekenregel voor het primitiveren van een machtsfunctie (#1=1 \cdot x^0#). \[\int 1 \; \dd x=x+C_1\] |
Stap 4 | Nu berekenen we #\int \frac{-3}{x-3} \; \dd x#. Dat geeft: \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{-3}{x-3} \; \dd x&=& \displaystyle -3 \cdot \int \frac{1}{x-3} \; \dd x \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constante voor integraal gehaald}} \\&=& \displaystyle -3 \int \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{x-3} \; \dd(x-3) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{herschreven zodat we subsitutie kunnen toepassen}} \\ &=& \displaystyle \frac{-3}{1} \int \frac{1}{x-3} \; \dd(x-3) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{constante buiten integraal gehaald}} \\&=& \displaystyle \frac{-3}{1} \int \frac{1}{u} \; \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{substitutie }x-3=u} \\ &=& \displaystyle \frac{-3}{1} \ln(|u|) +C_2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{geprimitiveerd}} \\ &=& \displaystyle -3\cdot \ln \left(\left| x-3\right| \right) +C_2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{subsitutie }u=x-3 \text{ en indien mogelijk vereenvoudiging constante}} \end{array}\] |
Stap 5 | Nu combineren we de antwoorden op stap 3 en 4 om het eindantwoord te vinden. \[\int {{x-6}\over{x-3}} \; \dd x=x-3\cdot \ln \left(\left| x-3\right| \right)+C\] |
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.