Een speciaal soort parametervergelijkingen zijn de Lissajousfiguren. Deze krommen beschrijven harmonische bewegingen in de fysica.
Een Lissajousfiguur is een kromme #\orange{C}# beschreven door een parametervergelijking van de vorm
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=& \blue{A \sin ( at + b)}\\\green{y(t)}&=& \green{B \sin (ct +d) }\end{array}\]
waarbij #A, B, a, b, c# en #d# getallen zijn.
De periode van de kromme is de lengte van het kleinste interval #t# zodat de volledige kromme wordt weergegeven.
Meer voorbeelden
De variabelen in de definitie kunnen worden veranderd om verschillende figuren te verkrijgen. Je kan de schuifregelaars gebruiken om de waarden te veranderen en te zien wat er gebeurt.
In de definitie van een Lissajousfiguur eisen we dat het een parameterkromme met parametervergelijkingen van een specifieke vorm betreft, namelijk met sinus- en cosinusfuncties van een bepaald type. Met behulp van goniometrische identiteiten kunnen we parametervergelijkingen herschrijven om te zien of ze ook Lissajousfiguren zijn, ook al zien ze er niet per se hetzelfde uit als in de definitie.
Voorbeeld
De parametervergelijkingen
\[\begin{array}{rcl}\green{x(t)}&=& \green{2\sin (t) \cos(t)} \\\blue{y(t)}&=& \blue{\cos (t - \frac{\pi}{2})} \end{array}\]
kan worden herschreven als
\[\begin{array}{rcl}\green{x(t)}&=& \green{\sin (2t)} \\\blue{y(t)}&=& \blue{\sin (t )} \end{array}\]
Het eenvoudigste voorbeeld van een Lissajousfiguur is de eenheidscirkel, beschreven door \[\begin{array}{rcl}\green{x(t)}&=&\green{\cos(t)}\\\blue{y(t)}&=&\blue{\sin(t)},\end{array}\] waarbij #t# in het interval #\ivcc{0}{2\pi}# ligt.
De periode van een Lissajousfiguur is de kleinste gemene veelvoud van de periode #\blue{x(t)}# en #\green{y(t)}#. Dit zijn #\frac{2\pi}{|a|}# en #\frac{2\pi}{|c|}# respectievelijk. Dit werd in de theorie over de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud behandeld.
De periode van het Lissajousfiguur wordt, in de meeste gevallen, als volgt berekend. Merk op dat de kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler technisch gezien slechts op gehele getallen zijn gedefinieerd, maar de berekening hieronder geeft een idee van hoe je de periode kan berekenen:
\[\begin{array}{rcl}\text{period}&=&\mathrm{lcm}\left(\displaystyle\frac{2\pi}{|a|},\displaystyle\frac{2\pi}{|c|}\right)\\&=&2\pi\cdot \mathrm{lcm}\left(\displaystyle\frac{1}{|a|},\displaystyle\frac{1}{|c|}\right)\\&=&2\pi\cdot \mathrm{lcm}\left(\displaystyle\frac{|c|}{|a\cdot c|},\displaystyle\frac{|a|}{|a\cdot c|}\right)\\&=&2\pi\cdot \displaystyle\frac{\mathrm{lcm}(|c|,|a|)}{|a\cdot c|}\\&=&\displaystyle\frac{2\pi}{\gcd(|c|,|a|)}\end{array}\]
Hieronder worden twee voorbeelden gegeven.
voorbeeld 1
De periode van het volgende Lissajousfiguur
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=& \blue{5 \sin ( 2t + 3)}\\\green{y(t)}&=& \green{4 \sin (6t ) }\end{array}\]
kan worden berekend met de hierboven gegeven formule:
\[\begin{array}{rcl}\mathrm{lcm}\left(\displaystyle\frac{2\pi}{|a|},\displaystyle\frac{2\pi}{|c|}\right)&=&\displaystyle\frac{2\pi}{\gcd(|c|,|a|)}\\&=& \displaystyle\frac{2\pi} {\gcd(6,2)}\\&=&\displaystyle\frac{2\pi}{2}\\&=&\pi\end{array}\]
voorbeeld 2
De periode van het volgende Lissajousfiguur
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=& \blue{ \sin ( \frac{t}{2})}\\\green{y(t)}&=& \green{5 \sin (\frac{t}{3} +1) }\end{array}\]
kan worden berekend met de hierboven gegeven formule:
\[\begin{array}{rcl}\mathrm{lcm}\left(\displaystyle\frac{2\pi}{|a|},\displaystyle\frac{2\pi}{|c|}\right)&=&\mathrm{lcm}(4\pi,6\pi)\\&=&12\pi \end{array}\]
Geef aan of de parameterkromme gegeven door de vergelijkingen
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=& \blue{\sin(t) \cos(2) + \cos(t) \sin(2) }\\ \green{ y(t)}&=& \green{4 \sin( \frac{2t}{\pi} + \pi) } \end{array}\]
een Lissajousfiguur is.
Jazeker.
We maken gebruik van goniometrische identiteiten om de vergelijkingen te herschrijven. Voor #\blue{x(t)}# gebruiken we de identiteit #\sin( \alpha + \beta ) = \sin(\alpha) \cos (\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)#. Voor #\blue{x(t)}# krijgen we
\[\begin{array}{rcl}\blue{ x(t)} & = & \blue{\sin(t) \cos(2) + \cos(t) \sin(2) }\\ & = & \sin(t + 2). \end{array}\]
We zien dat #\green{y(t)}# reeds de gewenste vorm heeft.
Vraag
Laat #\orange P# een punt zijn waarvan de baan beschreven wordt parametervergelijkingen
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{ 2\sin ( \pi t )}\\ \green{y(t)}&=& \green{2 \cos (t)} \end{array}\]
waarbij #t# ligt tussen #- \pi # en # \pi#. Bepaal de waarden van #t# waarbij #\orange P# door de #y#-as gaat.
Oplossing
Wij lossen #\blue{x(t)} = 0# op voor #t \in \ivcc{- \pi}{\pi}#. We krijgen
\[\begin{array}{rcl}\blue{2 \sin (\pi t )} &=&0 \\\pi t &=& k\cdot \pi \\t &= & k\end{array}\]
waarbij #k# een geheel getal is.
Daarom gaat voor #t = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3# in het interval punt #\orange P# door de #y#-as.
Hier is een figuur van de kromme
\[\begin{array}{rcl}\blue{x(t)}&=&\blue{ 2\sin ( \pi t )}\\ \green{y(t)}&=& \green{2 \cos (t)}. \end{array}\]
De waarde van #t# kan worden aangepast om # \orange P# te verplaatsen. Zoals blijkt uit de figuur, de waarden #t = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3# zijn de enige waarden waar #\orange P# door de #y#-as gaat.
Neem het punt #P# gegeven door de vergelijkingen
\[\begin{cases}
x(t) & = -\sin(t+\pi), \\
y(t) & = 2\cdot \sin({{t}\over{2}}+{{\pi}\over{2}}).
\end{cases}\] waarbij #t# van #- \pi# tot #\pi# loopt.
Bepaal hoe vaak het punt #P# door de oorsprong gaat.
Het punt #P# gaat 2 keer door de oorsprong.
Om te bepalen hoe vaak het punt #P# door de oorsprong gaat moeten we tegelijkertijd #x(t) = 0# en #y(t) = 0# oplossen. We weten dat #x(t) = -\sin(t+\pi) = 0# als en slechts als #t+\pi # een veelvoud van #\pi# is. We krijgen
\[ \begin{array}{rcl}
t+\pi & = & k \cdot \pi \\
t & = & \pi\cdot k-\pi
\end{array}\]
voor alle gehele getallen #k#. De waarden van #t# die in het interval liggen staan in de lijst \[\left[ t=\pi , t=0 , t=-\pi \right] \]
Degenen die ook #y(t) = 0# hebben, zijn
\[ \left[ t=-\pi , t=\pi \right] \]
Dus #P# gaat 2 keer door de oorsprong.
Lissajousfiguren
