Raaklijn aan een cirkel

Meetkunde: Cirkels

Raaklijn aan een cirkel

Wanneer een lijn en een cirkel precies één snijpunt hebben, is de lijn een raaklijn aan de cirkel.

Als een lijn #\blue l# en een cirkel #\green c# precies één snijpunt #\orange T# gemeenschappelijk hebben, dan is #\blue l# de raaklijn in #\orange T# aan #\green c#.

We noemen punt #\orange T# het raakpunt.

In de figuur kan punt #\orange T# verplaatst worden over cirkel #\green c#. Cirkel #\green c# kan aangepast worden door het middelpunt te verplaatsen of met de schuifbalk de straal te veranderen.

Voor elke raaklijn geldt een bijzondere eigenschap.

Raaklijnstelling

Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

We bewijzen de stelling voor een cirkel #\green c# met middelpunt #\rv{0,0}# en straal #r# en een raaklijn #\blue l# door punt #\orange{T}= \orange{\rv{t,s}}# op de cirkel. Merk op dat het middelpunt verplaatsen geen invloed heeft, dus dat de stelling dan ook blijft gelden.

De cirkelvergelijking van #\green c# is gelijk aan #x^2+y^2=r^2#. Door middel van herleiding kunnen we de cirkel terugbrengen tot twee grafieken van een functie, namelijk #f(x)=\sqrt{r^2-x^2}# voor de positieve helft van de cirkel en #g(x)=-\sqrt{r^2-x^2}# voor de negatieve helft van de cirkel.

Nu kunnen we door middel van differentiëren de helling van de cirkel berekenen in het punt #\orange{T}=\orange{\rv{t,s}}#. De afgeleide van #f(x)# is gelijk aan #f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}#. Dit betekent dat de helling in #\orange{T}=\orange{\rv{t,s}}# gelijk is aan:

\[f'(t)=\frac{-t}{\sqrt{r^2-t^2}}\]

Omdat punt #\orange{T}=\orange{\rv{t,s}}# op de cirkel ligt, geldt \[t^2+s^2=r^2\] Dat betekent dat #r^2-t^2=s^2#. Daarom geldt:

\[f'(t)=\frac{-t}{\sqrt{s^2}}=-\frac{t}{s}\]

Op dezelfde wijze kunnen we dit doen voor #g(x)#. Hierbij is het even goed opletten op de mintekens, maar doordat #s# negatief is, komt dit hetzelfde uit.

Dit betekent dat de richtingscoëfficiënt van lijn #\blue l# ook gelijk moet zijn aan #-\frac{t}{s}#. Anders zou #\blue l# geen raaklijn zijn.

Nu berekenen we de richtingscoëfficiënt van de lijn #O\orange T#, oftewel de straal van de cirkel door het punt #\orange{T}=\orange{\rv{t,s}}#.

De richtingscoëfficiënt is gelijk aan: \[rc_{O\orange T}=\frac{y_T-y_O}{x_T-x_O}=\frac{s-0}{t-0}=\frac{s}{t}\]

We weten dat twee lijnen loodrecht op elkaar staan als het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan #-1#.

In dit geval geldt voor de richtingscoëfficiënten van lijn #\blue l# en lijn #O\orange T#:

\[rc_{\blue l} \cdot rc_{O\orange T}=-\frac{t}{s} \cdot \frac{s}{t}=-1\]

Hiermee is bewezen dat raaklijn #l# aan cirkel #\green c# in punt #\orange{T}=\orange{\rv{t,s}}# loodrecht staat op de de straal naar het raakpunt.

Deze raaklijnstelling kunnen we gebruiken om de vergelijking op te stellen van een raaklijn aan een cirkel in een gegeven punt.

Raaklijn aan een cirkel opstellen

	Stappenplan	Voorbeeld
	We stellen een raaklijn #\blue l# in een gegeven punt #\orange T# van een cirkel #\green c# op.	#\orange T=\orange{\rv{5,7}}# #\green c : \green{(x-2)^2+(y-3)^2=25}#
Stap 1	Bepaal middelpunt #M# van cirkel #\green c#.	#M=\rv{2,3}#
Stap 2	Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn door #M# en #\orange T#.	#{rc}_{M\orange T}=\tfrac{7-3}{5-2}=\tfrac{4}{3}#
Stap 3	Gebruik de raaklijnstelling om richtingscoëfficiënt #a# van lijn #\blue l# te berekenen.	#a=-\tfrac{3}{4}#
Stap 4	De vergelijking van lijn #\blue l# heeft de vorm #y=ax+b#. Vul hierin de #a# uit stap 3 in.	#\blue l: y=-\tfrac{3}{4}x+b#
Stap 5	Bepaal #b# door punt #\orange T# in de vergelijking uit stap 4 in te vullen en op te lossen voor #b#.	#b=\tfrac{43}{4}#
Stap 6	Vul de gevonden #b# in de vergelijking uit stap 4 in. Dit geeft een vergelijking voor lijn #\blue l#.	#\blue l: y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{43}{4}#

Grafisch

In de figuur zien we cirkel \[\green c : \green{(x-2)^2+(y-3)^2=25}\] en punt \[\orange T=\orange{\rv{5,7}}\] met de gevonden raaklijn \[\blue l: y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{43}{4}\] uit het voorbeeld.

Is lijn #l: 9\cdot y-{{27\cdot x}\over{4}}={{279}\over{4}}# een raaklijn aan cirkel #c: \left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=17#?

Nee

Lijn #l# is een raaklijn aan cirkel #c# als lijn #l# en cirkel #c# precies één snijpunt hebben. We bepalen dus het aantal snijpunten van lijn #l# en cirkel #c#.

Stap 1	We herschrijven lijn #l# tot de vorm #y=\ldots#. Dat geeft: \[l: y={{3\cdot x}\over{4}}+{{31}\over{4}}\]
Stap 2	We subsitueren de vergelijking van lijn #l# in de vergelijking van de cirkel. Dat geeft: \[\left(x+2\right)^2+\left({{3\cdot x}\over{4}}+{{31}\over{4}}-4\right)^2=17\] Dit kunnen we vereenvoudigen tot: \[\left(x+2\right)^2+\left({{3\cdot x}\over{4}}+{{15}\over{4}}\right)^2=17\]
Stap 3	We herleiden de vergelijking uit stap 2 op #0# en werken de haakjes uit. Dat gaat als volgt: \[\begin{array}{rcl}\left(x+2\right)^2+\left({{3\cdot x}\over{4}}+{{15}\over{4}}\right)^2&=&17 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{oorspronkelijke vergelijking}} \\ {{25\cdot x^2}\over{16}}+{{77\cdot x}\over{8}}+{{289}\over{16}}&=&17\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{haakjes uitgewerkt}} \\ {{25\cdot x^2}\over{16}}+{{77\cdot x}\over{8}}+{{17}\over{16}} &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{herleid op }0} \ \end{array}\] Nu lezen we #a#, #b# en #c# voor de abc-formule af. Dat geeft: #a={{25}\over{16}}#, #b={{77}\over{8}}# en #c={{17}\over{16}}#. Nu kunnen we de discriminant uitrekenen. \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule discriminant}} \\ &=& ({{77}\over{8}})^2-4\cdot {{25}\over{16}} \cdot {{17}\over{16}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}} \\ &=& 86 \end{array}\] Omdat de discriminant gelijk is aan #86 \gt 0#, zijn er #2# oplossingen.

Omdat er #2# snijpunten zijn, is lijn #l# geen raaklijn aan #c#.

Nieuw voorbeeld