In allerlei situaties komen we rijen getallen tegen. Denk bijvoorbeeld aan het bedrag #\euro \, 1000# dat op een spaarrekening gezet wordt en elk jaar #0.2\%# rente krijgt. De bedragen #1000#, #1002#, #1004.004, \ldots#, die in respectievelijk jaar 1, jaar 2, jaar 3, #\ldots# op de spaarrekening staan, zijn een voorbeeld van een rij. Hier is de wiskundige definitie van een rij.
Een rij is een verzameling getallen #a_1#, #a_2, \ldots# die geordend zijn met een index (subscript) die de natuurlijke getallen doorloopt.
Het getal #a_k#, waar #k=1#, #2#, #3, \ldots#, wordt ook wel een term of de #k#-de term van de rij genoemd.
In dit geval noemen we de term #a_1# de aanvangsterm, omdat dat de term is waar de rij mee begint.
Een rij is oneindig als voor elk geheel getal #k\ge 1# (de index) #a_k# gedefinieerd is.
Een eindige rij noteren we vaak als #a_1#, #a_2#, #\ldots#, #a_n#, waar #n# de lengte van de rij is.
Hieronder staan enkele voorbeelden van rijen.
Er zijn rijen met een vast verschil tussen twee termen, bijvoorbeeld:
\[a_1=2, a_2=5, a_3=8, a_4=11, a_5=14, \ldots\]
Er zijn ook rijen die telkens met een vast getal vermenigvuldigd worden, bijvoorbeeld:
\[a_1=2, a_2=6, a_3=18, a_4=54, a_5=162, \ldots\]
Maar er zijn ook heel andere patronen in rijen mogelijk, bijvoorbeeld:
\[a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_4=3, a_5=5, \ldots\]
Rijen kunnen onder andere gedefinieerd worden door recursieve formules. Dat betekent dat de volgende term te bepalen is uit de vorige. Een voorbeeld van een recursieve formule is: #a_n=2+a_{n-1}#. Als #a_1# gegeven is, kunnen we nu elke term uit de rij berekenen. Als #a_1=2#, ziet de rij er als volgt uit: \[a_1=2,\enspace a_2=4, \enspace a_3=6, \enspace a_4=8,\enspace a_5=10,\enspace \ldots\]
Rijen kunnen ook gegeven worden door een functievoorschrift. Bijvoorbeeld: #a_n = \dfrac{1}{2^n}# #(n\ge1)#. In dit geval kunnen alle termen direct berekend worden en heb je de voorgaande termen niet nodig. Deze rij begint dan als \[a_1=\dfrac{1}{2}, \enspace a_2=\dfrac{1}{4},\enspace a_3=\dfrac{1}{8},\enspace \ldots\] Een ander voorbeeld is \[a_n=\begin{cases} n+1 & 1\leq n \lt 4\\ n^2 & n\geq 4\end{cases}\] Deze rij begint als \[a_1=2,\enspace a_2=3, \enspace a_3=4, \enspace a_4=16, \enspace a_5=25, \enspace \ldots\]
De rij #a_1#, #a_2#, #\ldots# geven we vaak kortweg aan met #a#. Zo kan de rij opgevat worden als de functie #a# die aan elk natuurlijk getal #k# een getal #a(k) = a_k# toewijst.
Soms is het makkelijker met index #0# te beginnen. Dan hebben we het over een rij #a_0#, #a_1#, #\ldots# In dit geval is #a_0# de aanvangsterm.
We zullen nu verder kijken naar een bijzondere vorm van een rij, namelijk de reeks.
Een reeks is een speciale rij #b_1#, #b_2, \ldots# waarvan de termen #b_n# als volgt zijn opgebouwd uit termen #a_k# van een andere rij\[b_n=\sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+\cdots\,+a_n{,}\qquad n=1, 2, 3, \ldots\]
Een term #b_n# van een reeks bij een rij #a# telt dus de eerste #n# termen van de rij #a# op.
Bijvoorbeeld, als voor rij #a# geldt dat #a_1=1#, #a_2=2#, #a_3=7#, #a_4=-3#, #a_5=-2#, #a_6=3#, dan begint de bijbehorende reeks met de volgende termen \[ \begin{array}{rcl}b_1 &=& 1\\ b_2&=&1+2= 3\\ b_3&=&1+2+7=10\\ b_4&=&1+2+7-3=7\\ b_5&=&1+2+7-3-2=5\\ b_6&=&1+2+7-3-2+3=8\\ \end{array} \]
We kunnen de term #b_n# in een reeks als volgt beschrijven: \[b_n=\sum_{k=1}^n a_k\] Het somteken #\sum# geeft een sommatie van termen aan, in dit geval termen van de rij #a#. Onder het somteken vind je de index #k# met ondergrens #1# en bovengrens #n#. We willen alle termen met index #1# tot en met #n# optellen. Bijvoorbeeld, als #n=3# krijgen we \[b_3=\sum_{k=1}^3 a_k = a_1 + a_2+a_3\] Merk op dat de index #k# een zogenoemde dummy variabele is. Dit betekent dat #k# geen betekenis heeft buiten het somteken. We kunnen ook andere letters gebruiken in plaats van #k#, zoals #i# of #j#: \[b_n=\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{j=1}^n a_j \quad\text{en}\quad b_3=\sum_{i=1}^3 a_i = a_1 + a_2+a_3\] Andere voorbeelden van het gebruik van het somteken zijn de volgende: \[\begin{array}{rcl} \displaystyle \sum_{i=3}^5 x_i &=& x_3+x_4+x_5 \\ \displaystyle\sum_{k=1}^4 k &=& 1+2+3+4 \enspace=\enspace 10\\ \displaystyle \sum_{j=0}^3 (j^2+1) &=& (0^1+1)+(1^2+1)+(2^2+1)+(3^2+1) \enspace = \enspace 1+2+5+10 \enspace = \enspace 18 \\ \displaystyle \sum_{k=1}^3 5 &=& 5+5+5 \enspace = \enspace 15 \end{array}\]
Omdat een reeks een bijzondere rij is, gelden in dit hoofdstuk alle opmerkingen over rijen ook voor reeksen.
We zullen nu naar enkele voorbeelden over rijen en reeksen kijken.
Bekijk de rij #a_k=k#, oftewel\[a_1=1{\tiny,}\quad a_2=2{\tiny,}\quad a_3=3{\tiny,}\quad\ldots\]Hoe ziet de reeks\[b_n=a_1+a_2+\cdots + a_n\]eruit?
#b_1=1#, #b_2=3#, #b_3=6#, #b_4=10#, #b_5=15#, #\ldots#
Immers, de eerste termen van de reeks #b# kun je uitrekenen: #b_1=1#, #b_2=1+2#, #b_3=1+2+3#, #b_4=1+2+3+4#, #b_5=1+2+3+4+5#, #\ldots# Dit bepaalt het goede antwoord.
De algemene term van de reeks is trouwens #b_n=\frac{1}{2}n\cdot(n+1)#.
De begrippen rij en reeks
